Mécanique quantique
Parité : symétrie $\mathcal P$

Dans le modèle standard des particules, la parité ou symétrie $\mathcal P$ fait partie des trois symétries fondamentales, bien qu'on en trouve des violations, avec :

• l'inversion de charge $\mathcal C$,
• l'inversion du temps $\mathcal T$.

Ces parités sont liées par la symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$.

Opérateur parité

La parité correspond à une réflexion dans l'espace, dans laquelle $ x\;\rightarrow\;x'=-x$, qui définit forcément une symétrie discrète.

Si on utilise un espace, la symétrie de parité (symétrie P ou inversion de l'espace) est une opération dans laquelle le vecteur position $\vec r$ passe de $\vec{x}\rightarrow-\vec{x}$ :

$\mathcal P:\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}-x\\-y\\-z\end{pmatrix}$ avec une matrice $\mathcal P:\begin{pmatrix}-1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0\\\phantom{-}0&-1&\phantom{-}0\\\phantom{-}0&\phantom{-}0&-1\end{pmatrix}$

Dans un espace euclidien, l'opération peut être décomposée en une symétrie par rapport au plan (O,x,y) et une rotation de $\pi$ (180°) par rapport à (O,z) :

• La parité $\mathcal P$ une expression de la chiralité.
• Mais comme, on considère l'espace est considéré comme isotropique, et qu'on définit une invariance par rotation pour les particules, cela revient à dire que c'est une symétrie miroir.

Dans l'espace de Hilbert des états du système, l'opérateur unitaire $\hat P$ représente l'opération $\mathcal P$ . On en déduit que :

• $\mathcal P^2=\mathcal I$, i.e. la parité appliquée deux fois est une identité, ce qui implique $\hat P^2=\hat I$, d'où $\hat P=\hat ¨P^+=\hat P^{-1}$.
• L'opérateur $\hat P$ est hermitien et unitaire, i.e. c'est une observable de valeur $\eta_P=\pm1$.
• $\mathcal P\mathcal R=\mathcal R\mathcal P$ , i.e. la parité commute avec les rotations.

Sous l'opérateur de parité, certaines quantités ou opérateurs :

1. changent de signe ($\eta_P=-1$, $\eta_P=-$ ou parité impaire - odd -), i.e. anticommutent avec $\mathcal P$ comme :

• les vecteurs comme les observables vectoriels de position et de la quantité de mouvement, i.e. anticommutent avec $\mathcal P$.
• les pseudo-scalaires, qui comme leur nom l'indique, sont le résultat d'un produit scalaire (invariable par rotation), comme l'hélicité par exemple.

2. sont invariants ($\eta_P=+1$, $\eta_P=+$ ou parité positive ou paire - even -), i.e. commutent avec $\mathcal P$ comme :

• comme les vecteurs axiaux appelés aussi pseudo-vecteurs qui ne changent pas de signe comme le moment angulaire total $J$, le moment angulaire orbital $L$ ou le spin $S$,
• les quantité scalaires ($-x\cdot-y=xy$).

Un système qui conserve la parité est décrit par un hamiltonien $H$ qui commute avec $\mathcal P$, soit $[\mathcal P,H]=0$.

• $[\mathcal P,H_{inter.fortes}]=[\mathcal P,H_{elec.magn.}]=0$.
• $[\mathcal P,H_{inter.faibles}]\ne0$.

Parité de la fonction d'onde

Nous avons vu que dans l'équation de Schrödinger pouvait s'écrire :

$$\psi(r,\theta,\phi)=\underbrace{R(r)}_{n}\overbrace{P(\theta)F(\phi)}^{\ell,\;m_\ell}=R(r)Y_{\ell m_\ell}(\theta,\phi)$$

Le passage de $x\rightarrow-x$ en coordonnées sphériques fait que $(r,\theta,\phi)\rightarrow(r,\pi-\theta,\phi+\pi)$, la partie radiale est invariante, et donc que $\mathcal P Y_{\ell m_\ell}(\theta,\phi)=(-)^\ell Y_{\ell m_\ell}(\theta,\phi)$.

La parité d'une fonction d'onde spatiale est $(-1)^L$ pour un état propre $\hat L^2$.

Le moment angulaire orbital $L$ de l'état, le nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$, détermine donc la parité orbitale :

• pour $\ell=0,2,4,…$, i.e. les sous-couches $s,d,g,…$, $\eta_P=+1$,
• pour $\ell=1,3,5,…$, , i.e. les sous-couches $p,f,h,…$, $\eta_P=-1$.

Pour deux particules de parité $\eta_{Pa}$ et $\eta_{Pb}$ et de $L$, la valeur propre associée à leur moment angulaire relatif, alors : $\eta_{P}^{totale}=\eta_{Pb}\eta_{Pa}(-1)^L$.

Parité intrinsèque

Cette notion se rapporte, par exemple, à l'opérateur de spin $S$ qui commute avec $\mathcal P$.

• Si son état est $|m_s\rangle$, c'est-à-dire la projection de $S$ sur l'axe $z$, et qu'on applique l'opérateur $\mathcal P$, l'état de spin reste inchangé et est un état propre de la parité.
• La valeur propre $\eta$ ne dépend pas de la valeur de $m_s$, nombre quantique de projection de spin : c'est donc bien une caractéristique intrinsèque de la particule.

Cette parité intrinsèque d'une particule est : $\eta_P=\pm1$

• Pour les particules sans masse, la parité intrinsèque est définie par rapport à l'hélicité : pour un photon par exemple, $-1$.
• Pour les particules massives (quarks, leptons, baryons…) sont fixées arbitrairement à $+1$.

Les parités des antiparticules est fixée par la formule : $\eta_{antipart.}=\eta_{part.}(-1)^{2S}$, i.e.

• les antiparticules de spin 1/2 ont une parité opposée (en accord avec l'équation de Dirac), d'où la formule $\eta_{12}=(-1)^{L+1}$.
• celles de spin entier, la même parité que leurs particules, d'où la formule $\eta_{12}=(-1)^{L+1}$.

Si $S$ est le spin de la particule, on trouve (cf. plus haut) :

• $\eta_P=+1$ :
  • spin=0, particule scalaire,
  • spin=1, particule pseudo-vectorielle ou axiale ;

• 

  $\eta_P=-1$ :
  • spin=0, particule pseudo-scalaire,
  • spin=1, particule vectorielle.

Normalement, dans un système où la nature des particules ne change pas, on peut s'affranchir de la parité intrinsèque par factorisation, ce qui n'est pas le cas lors de création ou d'annihilation de particules.

Violation de la parité

Une violation de $\mathcal P$ (brisure de symétrie) a été mise en évidence lors de l'interaction faible :

• la désintégration du kaon neutre,
• la désintégration bêta (β) du cobalt 60 par Wu où il démontra que les électrons se dirigeait dans le sens opposé au spin en 1957 (expérience de Wu),

$$^{60}_{27}CO\rightarrow\;^{60}_{28}Ni+e^++\overline\nu_e+2\gamma$$

• la désintégration des mésons B en 2001.

Hélicité et chiralité d'une particule