Mécanique quantique
Moments angulaires : moment angulaire total ($J$)

La notion de moment angulaire regroupe plusieurs opérateurs qui ne doivent pas être confondus en mécanique quantique.

• le moment angulaire orbital " classique " ($L$) ;

• 

  le moment angulaire intrinsèque ou spin ($S$) qui n'a pas d'équivalent en mécanique classique (cf. chapitre spécial) ;
• le moment angulaire total ($J$).

Moment angulaire total

Le moment angulaire total $J$ combine le moment angulaire orbital et le spin par l'équation :

$J=L+S$

Opérateur de moment angulaire total

Comme le moment angulaire orbital $L$ ou le spin $S$, $J$ est représenté, par un opérateur vecteur $J=(J_x,J_y,J_z)$ dont les trois opérateurs ont des relations de commutation identiques à celles de $L$ qui suivent le principe d'incertitude.

• $[J_i,J_j]=i\hbar\sum\limits_{n=1}^{3}\epsilon_{ijk}J_k$, $\forall i,j,k\;\in\{x,y,z\}$,
• où $\epsilon_{ijk}$ représente le symbole de Levi-Civita, i.e. indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker et ne prendre que trois valeurs : $-1,\;0,+1$.

Le moment angulaire total correspond à l'opérateur de Casimir de l'algèbre de Lie $so(3)$, groupe de rotation $SO(3)$. Les relations d'incertitude du moment angulaire donne comme borne inférieure de l'opérateur de Casimir : $\ell(\ell+1\ge m (m + 1)$ et donc $\ell\ge m$, entre autres.

Par contre, il est possible de mesurer (simultanément) :

• $J^2$, lié au nombre quantique principal (ou interne) de moment angulaire total $j$ par l'équation suivante : $ J^2=\hbar^2j(j+1)$, où $j\in \{0,\;1/2,\;1,\;3/2,\;...\}$, i.e. $|\ell-s|\le j\le \ell +s$ où $\ell$ est le nombre quantique secondaire (ou azimutal) et $s$ le nombre quantique de spin, et $\hbar$ est la constante de Planck réduite ;

Le vecteur de moment angulaire total $j$ est lié au nombre quantique principal de moment angulaire total $j$ par la formule classique $\parallel j\parallel=\sqrt{j(j+1)}\hbar$.

• $J_z$, lié au nombre quantique secondaire de projection du moment angulaire total $m_j$, projection de $J$ sur l'axe quantique classique $z$ : $J_z=\hbar m_j$, où $m_j\in \{-j\;,-(j-1)…\;,+(j-1)\;,+j\}$ : on trouve donc $2j+1$ valeurs pour $m_j$.

Les nombres quantiques $j$ et $m_j$, ainsi que la parité $\mathcal P$, ont tendance à remplacer les trois premiers nombres quantiques $\ell$, $ m_\ell$ et $ m_s$ qui leur sont reliés.

En outre, leurs vecteurs propres sont aussi également des vecteurs propres de l'hamiltonien et des combinaisons linéaires des vecteurs propres de $\ell$, $s$, $m_\ell$ et $m_s$.

Symétrie du moment angulaire total

La symétrie du groupe est $SU(2)$.

Si le moment angulaire orbital $L$ est de symétrie de groupe de rotation $SO(3)$, le spin $S$ et le moment angulaire total $J$ sont de symétrie $SU(2)$ (cf. connexion entre les deux groupes).

• Si le moment angulaire orbital $L$ provoque une rotation des particules sans modifier le spin, le spin $S$ provoque la rotation du spin sans modifier les positions.
• Le moment angulaire total $J$ fait tourner l'ensemble du système.

Si le moment angulaire total est un demi-entier, la rotation autour de l'axe $z$ par exemple est $R_{otation}(\hat z,360°)=-1$ alors qu'elle est de $+1$ lorsqu'il est entier (rotation d'un spineur et théorie des twisteurs).

Moments magnétiques