$L_{max}=M_{Lmax}=1$, donc correspond au $P$ spectroscopique, $S=1/2$ d'où $^2P$ ;
$J=1+1/2,\;|0-1/2|=3/2,\;1/2$,
$|L-S|\le J\le L +S$ donc $|1-1/2|\le J\le 1+1/2$ qui ne donne que deux valeurs $1/2$ et $3/2$ ;
deux termes spectroscopiques : $^2P_{3/2}$ et $^2P_{1/2}$ : on observera deux raies spectroscopiques jaunes très proches lors du passage de la sous-couche p à s (589,76 et 589,16 nm).
Exemples du couplage LS pour deux électrons
Sous-couche complète
Une sous-couche est complète si elle contient $2(2\ell+1)$ électrons. Dans ce cas,
$\displaystyle\sum\limits_{\textstyle m_\ell=-\ell}^{\textstyle\ell} m_\ell=0\qquad$ et $\qquad\displaystyle\sum\limits_{\textstyle m_s=\pm1/2} m_s=0$
$S=1$, $|0-1|\le J\le 0+1$, donc $J=1$, d'où $\rightarrow\;^3S_1$.
Microétats du carbone
(Figure : vetopsy.fr)
L'hélium peut aussi se retrouver sous la forme 1s12p1.
$\ell_1=0$ et $\ell_2=1$, $L=1$ car $|0-1|\le L\le 0+1$ et le terme spectroscopique est $P$.
$S=0$, donc $J=1$ car $|0-1|\le J\le 0+1$, d'où $\rightarrow\;^1P_1$.
$S=1$, $|1-1|\le J\le 1+1$, donc $J=0,1,2$, d'où $\rightarrow\;^3P_0$, $^3P_1$ et $^3P_2$.
L'état le plus stable est $^3P_1$ d'après les règles de Hund.
Deux électrons dans la même sous couche
Soit l'atome de 12C (Z=6) de configuration électronique 1s22s22p2 :
le nombre de microétats est de 15 - d'après la formule, \dfrac{n!}{e!h!}$ où $ n=6$, $ e=2$ et $ h=4$.
$\ell_1=1$ et $\ell_2=1$, $ L=0,1,2$ car $|1-1|\le L\le 1+1$, d'où les termes spectroscopiques $S$, $P$ et $D$.
Mais après, c'est un peu plus compliqué car deux électrons de spin parallèle ($m_{s1}=m_{s1}$) ne doivent pas se trouver dans une même case quantique $m_\ell$ (principe d'exclusion de Pauli). On doit recenser tous les micro-états (cf. figure ci-contre).
On sait que, dans un système à 2 électrons, $L$ est pair (symétrique), $S=0$ (antisymétrique), et inversement si $L$ est impair (antisymétrique), $S=1$ (symétrique).
si $L=2$ ($m_\ell=-2,-1,0,+1,+2$) et $S=0$ ($m_s=0$) $^1D$ : 5 valeurs possibles, donc 5 microétats $^1D$ ;
si $L=1$ ($m_\ell=-1,0,+1$) et $S=1$ ($m_s=-1,0,+1$), $^3P$ : 9 valeurs possibles, donc 9 microétats $^3P$ ;
si $L=0$ ($m_\ell=0$) et $S=0$ ($m_s=0$), $^1S$ : 1 seule valeur possible, donc1 seul microétat $^1S$.
Comme vous le voyez sur la figure, la case 6 et la case 7 ont les mêmes valeurs de $ M_L$ et de $ M_S$. Pourquoi l'une plutôt que l'autre ?
$On\; choisit\; alors\; de \; manière\; arbitraire$.