Mécanique quantique
Principe d'incertitude

Dans la mécanique classique newtonienne, le vecteur position et la quantité de mouvement décrivent complètement l'état d'un point matériel ($\vec r_M,\vec p_M$).

En d'autres termes, l'état du système, qui décrit tous les aspects de ce système - système dans le sens de partie de l'univers physique choisi pour l'analyse -, permet de déterminer exactement le résultat de mesures qu'on peut y réaliser. Cet état est représenté par un ensemble de grandeurs physiques.

Dans la mécanique quantique, qui est non-déterministe, l'état du système permet seulement de prévoir, de façon toutefois parfaitement reproductible, les probabilités respectives des différents résultats qui peuvent être obtenus à la suite de la réduction du paquet d'onde lors de la mesure.

Relations d'Heisenberg

Les relations d'Heisenberg (1927) ou principe d'incertitude, du nom de Werner Heisenberg (1901-1976), montrent qu'il existe une limite fondamentale à la précision avec laquelle il est possible de connaître simultanément deux propriétés physiques d'une même particule, par exemple sa position et sa quantité de mouvement (cf. inégalités d'Heisenberg).

Si on reprend la dualité onde/particule, le vecteur d'onde est lié à la quantité de mouvement de la particule. Le vecteur d'onde est un vecteur perpendiculaire au front d'onde d'une onde monochromatique.

• Il a une direction, en général, celle de la propagation de l'onde (cf. discussion).
• Il a une norme qui correspond au nombre d'onde : $k=2\pi/\lambda=\omega/v_{phase}$ (rad m^-1), où $\lambda$ est la longueur d'onde, $\omega$, la pulsation, $T$, la période et $v_{phase}$, la vitesse de phase. On peut aussi écrire que $k=E/\hbar c=p/\hbar$ en utilisant la relation de Planck et la quantité de mouvement $p$.

Dans la relativité restreinte, on définit ce vecteur comme un quadrivecteur ou vecteur de l'espace de Minkowski, espace à quatre dimensions modélisant l'espace-temps.

Si on veut définir la localisation d'une onde, il faut une infinité de mesures et comme chacune possède une certaine quantité de mouvement, cette dernière est donc infinie. De même, si on veut calculer la quantité de mouvement, la position de la particule est indéfinie : on ne peut pas faire les deux.

Ce principe d'incertitude a été formulé en 1927 par Werner Heisenberg.

L'inégalité formelle reliant l'écart type de la position $\sigma_x$ et l'écart type de la quantité de mouvement $\sigma_p$ est due à Earle Hesse Kennard (1885-1968) et à Hermann Weyl (1885-1955), ce dernier étant à l'origine de l'invariance de jauge :

$$\sigma_x\sigma_p\ge\dfrac{\hbar}{2}\qquad ou\qquad\sigma_x\sigma_p\ge\dfrac{\hbar}{2m}$$

• $\hbar$ est la constante de Plank réduite et $m$ la masse de la particule.
• Comme la masse d'une particule est très faible, on constate que $\sigma_x\sigma_p$ est très élevé, mais est négligeable pour un objet macroscopique, ce qui permet de retomber sur nos pieds en mécanique classique.
• Ces variables sont dites conjuguées ou complémentaires, comme l'énergie et le temps par ailleurs ($\Delta E\cdot\Delta t\ge\dfrac{\hbar}{2}$.

Interprétations

Vue d'ensemble

En mécanique quantique, seule la distribution statistique de la position ou la quantité de mouvement est parfaitement déterminée à tout instant.

• Par contre, la valeur précise des paramètres physiques est déterminée lors de la mesure, et donc, si on poursuit le raisonnement, l'état du système est alors " réduit " à ses mesures.
• Ce concept est appelé réduction du paquet d'onde (postulat V de la mécanique quantique), qui est en contradiction avec le postulat VI de l'évolution temporelle de l'état quantique.

Un objet quantique pourrait donc être " à plusieurs endroits en même temps " (superposition des états : premier postulat de la mécanique quantique) ? Cela pose le problème de la réalité de ces phénomènes, en d'autres termes, existent-ils effectivement ?

• Par exemple, le spectre d'énergie de l'électron dans un atome d'hydrogène, les vecteurs de l'état quantique de l'électron sont donnés par les quatre nombres quantiques " intrinsèques " ($n$, $\ell$, $m_\ell$ et $m_s$).
• Le spin est calculé (en notation bra-ket) par : $\vert\psi\rangle=\dfrac {1}{\sqrt 2}\bigg(\vert\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\bigg)$ qui implique la superposition des états de spin communs pour deux particules de spin 1/2.

On peut aussi démontrer le principe d'incertitude avec la fonction d'onde.

Certains pensent que la théorie quantique représente :

• totalement la réalité, comme la théorie des états relatifs (des mondes multiples) de Hugh Everett (1930-1942), la décohérence quantique ou les histoires consistantes,

• 

  partiellement la réalité, comme la théorie de l'onde-pilote, l'intervention de la conscience, la réduction du paquet d'onde objective.

Ces approches sont dites réalistes.

• pas du tout la réalité : cette approche est positiviste, comme celle de l'école de Copenhague qui pense que la mécanique quantique n'est qu'une description de tout ce que nous pouvons connaître de la réalité, mais ne décrit pas la réalité en elle-même.

« Je ne demande pas qu'une théorie corresponde à la réalité, car je ne sais pas ce qu'est la réalité. Ce n'est pas quelque chose que l'on peut tester avec du papier pH. Tout ce qui m'importe est que la théorie prévoie correctement le résultat d'une expérience. » Stephen Hawking

La notion de réduction de paquet d'onde induit que la mesure perturbe le système, et provoque une décohérence quantique (superposition d'états et décohérence).

« Il est très important de se rendre compte que notre objet a forcément été en contact avec les autres parties du monde, à savoir les conditions expérimentales, l'appareil de mesure, etc., avant l'observation et, au minimum, pendant l'observation. Cela signifie que l'équation du mouvement pour la fonction de probabilité contient maintenant l'influence de l'interaction avec le dispositif de mesure [... qui] est en relation avec le reste du monde, il contient en fait les incertitudes sur la structure du monde entier. [...] Par conséquent, la transition du « possible » au « réel » lors de la [réduction du paquet d'onde] a lieu pendant l'acte d'observer. » Werner Heisenberg

Cette théorie, bien qu'elle soit qu'un modèle, permet d'expliquer l'expérience de pensée du chat de Schrödinger et la problématique de la mesure quantique.

Chat de Schrödinger

Le chat de Schrödinger, que l'on met dans une boîte, peut faire comprendre cette problématique.

• En mécanique classique, après un certain temps, le chat est vivant ou mort.
• En mécanique quantique, après un certain temps, le chat est vivant ET mort, ce qui n'est pas possible normalement.

La fonction d'onde (cf. chapitre spécial), $\psi$, décrit l'état quantique d'un système, $\left\vert\psi(t)\right\rangle$, en respectant les contraintes imposées par les relations d'Heisenberg. Elle permet de calculer une densité de probabilité de trouver une particule dans un volume donné (principe de superposition lié au principe d'incertitude).

• La mesure sélectionne un état quantique et un seul : on assiste à l'effondrement de la fonction d'onde.
• Le fait d'ouvrir la boîte fixe alors l'état du chat (vivant ou mort).

La théorie de la décohérence quantique montre qu'un système quantique n'est pas isolé, mais en interaction avec d'autres.

• La complexité de ces interactions rend les probabiliés " incohérentes ". En d'autres termes, elles modifient les fonctions d'onde - qui sont des vecteurs - qui peuvent alors devenir orthogonales, de produit scalaire nul, ce qui revient à dire que la probabilité d'observer un état est nul.
• On peut observer uniquement les états macroscopiques : le chat est vivant OU mort.

« Demander que l'on « décrive ce qui se passe » dans le processus quantique entre deux observations successives est une contradiction in adjecto, puisque le mot « décrire » se réfère à l'emploi des concepts classiques, alors que ces concepts ne peuvent être appliqués dans l'intervalle séparant deux observations [...] L'ontologie du matérialisme reposait sur l'illusion que le genre d'existence, la « réaliste » directe du Monde qui nous entoure, pouvait s'extrapoler jusqu'à l'ordre de grandeur de l'atome. Or, cette extrapolation est impossible. » Heisenberg

Observables et état quantique