Mécanique quantique
Moments magnétiques : moment magnétique total

Les deux moments magnétiques (orbital et spin) des particules se conjuguent en un mouvement magnétique total qui a pour conséquence un processus appelé couplage spin-orbite qui est traité dans le chapitre correspondant.

Moment magnétique total

Ce couplage produit une énergie potentielle, dans un système hydrogénoïde - cation ne possédant qu'un seul électron - à charge nucléaire $Ze$ (cours de magnétisme) :

$V=\dfrac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0m^2_ec^2r^3}\vec L\;.\vec S$

Comme le moment angulaire total est $\vec J=\vec L+\vec S$, on en déduit que :

$J^2= L^2+S^2+2L\;.S$, d'où $L\;.S=\dfrac{1}{2}(J^2-L^2-S^2)$.

Les éléments de la base propre des cinq opérateurs $H$, $J^2$, $L^2$, $S^2$ et $J_z$, sont les cinq nombres quantiques :

• $n$ (nombre quantique principal),
• $j$ (nombre quantique du moment angulaire total),
• $\ell$ (nombre quantique du moment angulaire orbital),
• $s$ (nombre quantique de spin)
• $J_z$ (la composante z du moment angulaire total).

Cette énergie potentielle, où $ a_0$ est le rayon de Bohr, dépend de :

$\left\langle\dfrac{1}{r^3}\right\rangle=\dfrac{2Z}{a_0^3n^3(\ell+1)(2\ell+1)}$ et de $\langle L\;.S\rangle=\dfrac {\hbar^2}{2}(J(J+1)-L(L+1)-S(S+1)$

La levée de dégénérescence d'un niveau caractérisé par les nombres quantiques principal $n$ et le nombre quantique secondaire (ou azimutal $\ell$) est caractérisé par :

$\xi_{n\ell}=\dfrac{Ze^2}{8\pi\epsilon_0m^2_ec^2}\left(\dfrac{Z}{a_0}\right)^3\dfrac{1}{n^3\ell\left(\ell+\dfrac{1}{2}\right)(\ell+1)}$

Pour tout atome mono-ionisé à Z protons :

$\xi_{n\ell}=Z^4\dfrac{\mu_0}{4\pi}g_s\mu^2_B\dfrac{1}{n^3a_0^3\ell\left(\ell+\dfrac{1}{2}\right)(\ell+1)}$

• où $g_s$ est le facteur de Landé de l'électron,
• $\mu_B$, le magnéton de Bohr.

Vous pouvez suivre les calculs dans l'article interaction spin-orbite et dans l'article détaillé 1 et 2.

Dans les cas où $ Z$ est faible, on peut négliger ce couplage spin-orbite. Mais, comme $\xi_{n\ell}$ est proportionnel à $Z^4$, il faut en tenir comme sur des atomes lourds d'où le couplage comme appelle JJ.

Soit un niveau $^2P$, ce couplage spin-orbite décompose les classiques :

• $^2P_{1/2}$ en 2 raies avec $j=-1/2,\;+1/2$ ;
• $^2P_{3/2}$ en 4 raies avec $j=-3/2,\;-1/2,\;+1/2,\;+3/2$.
• Les facteurs de Landé sont différents respectivement, 2/3, 4/3 et 2 pour $S_{1/2}$, ce qui, explique les différences de niveau énergétique.

Spin-orbitales et micro-états