Dans le cas de l'électron, comme : $g\approx-2$, et le spin de l'électron est $S=\hbar/2$, alors :
Alfred Landé (1888-1976)
$\mu_S\approx-2\dfrac{-e}{2m_e}\dfrac{\hbar}{2}=\mu_B=\left(-\dfrac{e\hbar}{2m_e}\right)=\left(\dfrac{q\hbar}{2m_e}\right)=\mu_B$.
$\mu_S$ est de signe opposé au spin par la charge de l'électron.
En mécanique quantique, on peut écrire en général, et non seulement pour l'électron puisque $g$ varie avec les particules :
$\vec\mu_S=-g\dfrac{\mu_B}{2}\vec\sigma$, sachant que le moment cinétique de spin $\vec S$, peut s'écrire $\dfrac{\hbar}{2}\vec\sigma$, $\sigma$ étant les matrices de Pauli.
L'amplitude du moment magnétique est mesurée, pour les observables en mécanique quantique sur la projection de l'axe quantique $z$, et les observables le long des axes sont $\pm\hbar/2$.
Le moment magnétique de spin est : $|\vec\mu_s|=g\mu_B\sqrt{s(s+1)}$.
$s$ vaut 1/2 pour l'électron, ce qui donne $|\vec\mu_s|=\mu_B\sqrt3$, équivalent à environ 1,73 magnéton de Bohr.
L'équation de Dirac prévoit que le facteur de Landé n'est pas -2 pour l'électron, mais -2,002 319 304 361 82 (52). Cet écart est appelé moment magnétique anomal qui continue d'être calculé à l'heure actuelle (valeur de 2014).
On introduit donc une anomalie $a$, telle que : $g=2(1+a)$, d'où $a=\dfrac{(g-2)}{2}$.
Cette anomalie dépend de la constante de couplage de l'interaction électromagnétique, appelée aussi constante de structure fine $\alpha$ telle que : $a=A_1\alpha_1+A_2\alpha_1^2+A_3\alpha_1^3+A_4\alpha_1^4+o(\alpha_1^4)$ avec :
$\alpha$ théorique est : $\alpha_{th}\simeq0,001\;159\;652\;153\;5(24\;0)$ ;
$\alpha$ expérimental est de $\alpha_{exp}\simeq0,001\;159\;652\;180\;85 (76)$.
Une anomalie est aussi décelée pour les autres leptons, le muon ( μ-) et le tauon (τ-).
Pour le muon : $\alpha_{th}\simeq0,001\;165\;918\;04\;(51)$ alors que $\alpha$ expérimental est de $\alpha_{exp}\simeq0,001\;165\;920\;91\;(54)\;(32)$.
Pour le tauon : elle n'a pas encore été précisée expérimentalement, vu sa très courte durée de vie, mais $\alpha_{th}\simeq0,001\;177\;21(5)$.
Moment magnétique de spin des nucléons
Pour calculer le moment magnétique de spin des nucléons, on remplace le magnéton de Bohr par le magnéton nucléaire, en utilisant la masse du proton et un $ g_N=+2$ et $q=e$ :