Mécanique quantique
Moments magnétiques : moment magnétique de spin

Lors d'une étude spectroscopique poussée et en l'absence de champ magnétique (expérience de Stern et Gerlach), le spectre de l'hydrogène montre un ensemble de raies spectrales qui ne devrait pas exister, et qui a abouti à la notion de spin.

Moment magnétique de spin

Le moment magnétique de spin représente le moment magnétique associé au moment cinétique de spin $S$ d'une particule.

Le moment magnétique de spin d'une particule, qui est une observable, est un vecteur $\vec\mu_S$ tel que :

$\vec\mu_S=g\dfrac{q}{2m}\vec S=\gamma\vec S$

• où, $\gamma=\dfrac{q}{2m}$ est le rapport gyromagnétique,
• $g$, le facteur g (appelé aussi facteur de Landé), grandeur physique sans dimension, positive ou négative, qui varie en fonction de la particule,
• $q$, la charge de la particule, $m$ sa masse.

Moment magnétique de spin 
 de l'électron

$\vec\mu_S=g\dfrac{q}{2m_e}\vec S=\gamma\vec S$

Dans le cas de l'électron, comme : $g\approx-2$, et le spin de l'électron est $S=\hbar/2$, alors :

• 

  $\mu_S\approx-2\dfrac{-e}{2m_e}\dfrac{\hbar}{2}=\mu_B=\left(-\dfrac{e\hbar}{2m_e}\right)=\left(\dfrac{q\hbar}{2m_e}\right)=\mu_B$.
• $\mu_B$ est le magnéton de Bohr.
• $\mu_S$ est de signe opposé au spin par la charge de l'électron.

En mécanique quantique, on peut écrire en général, et non seulement pour l'électron puisque $g$ varie avec les particules :

$\vec\mu_S=-g\dfrac{\mu_B}{2}\vec\sigma$, sachant que le moment cinétique de spin $\vec S$, peut s'écrire $\dfrac{\hbar}{2}\vec\sigma$, $\sigma$ étant les matrices de Pauli.

• L'amplitude du moment magnétique est mesurée, pour les observables en mécanique quantique sur la projection de l'axe quantique $z$, et les observables le long des axes sont $\pm\hbar/2$.
• $\vec S$ est remplacé par sa valeur propre $\sqrt{s(s+1)}$ où $s$ est le nombre quantique de spin.
• Le moment magnétique de spin est : $|\vec\mu_s|=g\mu_B\sqrt{s(s+1)}$.
• $s$ vaut 1/2 pour l'électron, ce qui donne $|\vec\mu_s|=\mu_B\sqrt3$, équivalent à environ 1,73 magnéton de Bohr.

L'équation de Dirac prévoit que le facteur de Landé n'est pas -2 pour l'électron, mais -2,002 319 304 361 82 (52). Cet écart est appelé moment magnétique anomal qui continue d'être calculé à l'heure actuelle (valeur de 2014).

On introduit donc une anomalie $a$, telle que : $g=2(1+a)$, d'où $a=\dfrac{(g-2)}{2}$.

En théorie quantique des champs, on dit qu'une symétrie de la théorie possède une anomalie (ou que la symétrie est anormale) lorsqu'elle est une invariance classique au niveau de l'action mais qu'elle est brisée une fois que la théorie est quantifiée.

Cette anomalie dépend de la constante de couplage de l'interaction électromagnétique, appelée aussi constante de structure fine $\alpha$ telle que : $a=A_1\alpha_1+A_2\alpha_1^2+A_3\alpha_1^3+A_4\alpha_1^4+o(\alpha_1^4)$ avec :

• $\alpha_1=\alpha/\pi\simeq 0,002\;322\;819\;465\;36$ ;
• $A_1=1/2$, $A_2\simeq-0,328\;847\;896\;557\;919\;378$, $A_3\simeq1,181\;241\;456\;587$, $A_4\simeq-1,728\;3(35)$.

L'électron est léger et donc influençable par les autres particules élémentaires et les bosons de l'interaction faible.

• $\alpha$ théorique est : $\alpha_{th}\simeq0,001\;159\;652\;153\;5(24\;0)$ ;
• $\alpha$ expérimental est de $\alpha_{exp}\simeq0,001\;159\;652\;180\;85 (76)$.

Une anomalie est aussi décelée pour les autres leptons, le muon ( μ^-) et le tauon (τ^-).

• Pour le muon : $\alpha_{th}\simeq0,001\;165\;918\;04\;(51)$ alors que $\alpha$ expérimental est de $\alpha_{exp}\simeq0,001\;165\;920\;91\;(54)\;(32)$.
• Pour le tauon : elle n'a pas encore été précisée expérimentalement, vu sa très courte durée de vie, mais $\alpha_{th}\simeq0,001\;177\;21(5)$.

Moment magnétique de spin des nucléons

Pour calculer le moment magnétique de spin des nucléons, on remplace le magnéton de Bohr par le magnéton nucléaire, en utilisant la masse du proton et un $ g_N=+2$ et $q=e$ :

$\mu_N=\dfrac{e\hbar}{2m_p}=5,050\;783\;53\;10^{-27}\;JT^{-1}$

Il ne faut pas confondre magnéton nucléaire et moment magnétique nucléaire.

1. le moment magnétique du proton est :

• $\mu_p=g_p\dfrac{\mu_N}{2}=1,410\;606\;662\;.\;10^{-26}\;JT^{-1}$
• où $g_p$ est le facteur de Landé du proton qui vaut $g_P=5,585\;694\;78$.

2. le moment magnétique du neutron est :

• $\mu_n=g_n\dfrac{\mu_N}{2}=-0,966\;236\;41\;10^{-26}\;JT^{-1}$
• où $g_n$ est le facteur de Landédu proton qui vaut -3,8260855.

On peut se demander pourquoi le neutron possède un moment magnétique de spin alors qu'il est considéré comme neutre ?

• C'est une preuve indirecte qu'il est composé de 3 quarks, chacun ayant un spin.
• On doit aussi remarquer qu'il est négatif.

Moment magnétique total