Les fermions suivent la statistique de Fermi-Dirac (théorème spin-statistique) qui décrit la distribution statistique des particules dans les systèmes constitués de particules identiques (truc de la ceinture 1 et 2).
La statistique de Fermi-Dirac a été introduite en 1926 par Enrico Fermi (1901-1954) et Paul Dirac (1902-1984).
En physique quantique, la dégénérescence est le fait pour plusieurs états quantiques distincts de se retrouver au même niveau d'énergie.
Un niveau d'énergie est dit dégénéré s'il correspond à plusieurs états distincts d'un atome, molécule ou autre système quantique.
Soit un système de deux fermions identiques (1,2) : il est décrit par une fonction d’ondeantisymétrique sous l’échange des particules : $\psi_{12}\leftrightarrows-\psi_{21}$.
La fonction d’onde doit satisfaire la condition d’indiscernabilité des particules, i.e. il est impossible de distinguer deux particules d'un même système, comme deux électrons d’un atome par exemple.
Si on permute les coordonnées $i$ et $j$ de deux particules, l'état du système est inchangé, i.e. la densité de probabilité est identique.
Prenons deux particules indiscernables (ou identiques, c'est-à-dire qui ne peuvent être différenciées). Leur hamiltonien $\hat{H}(p_1,p_2)$, alors $\hat{H}(p_1,p_2)=\hat{H}(p_2,p_1)$ : on dit que leur hamiltonien est invariant par permutation.
Si $\hat{P}_{12}$ est l'opérateur de la permutation de $p_1$ et $p_2$, alors le commutateur de ces deux opérateurs est nul : $\left[\hat{H},\hat{P}_{12}\right]=0$. Comme $\hat{P}_{12}^2 =1$, si $u_1$ et $u_2$ sont les spino-orbitales respectives de deux électrons, alors on a deux solutions seulement à l'hamiltonien (+1 ou -1). :
une solution symétrique $u_1(1)u_2(2)=u_2(1)u_1(2)$ : cas des bosons et des particules de spin entier ;
une solution antisymétrique $u_1(1)u_2(2)=-u_2(1)u_1(2)$ : cas des fermions et des particules de spin demi-entier.
Soit deux fermions identiques. La fonction d'onde est :
$\Psi(u_1,u_2)=u_1(1)u_2(2)-u_2(1)u_1(2)$. En la normalisant :
Ce déterminant d'ordre $n$, expression de la fonction d'onde d'un système de $N$ électrons (ou autres fermions) identiques, généralise cette formule. Le déterminant change de signe lorsque l'on permute deux lignes ou deux colonnes.
Pour les fermions, si les deux particules ont un même état quantique, $u_1=u_2$, $\Psi(u_1,u_2)=0$, ce qui veut dire que la probabilité de trouver deux fermions identiques dans le même état quantique est nulle.Cette antisymétrie de la fonction d'onde est essentielle pour :
l'existence d'électrons non appariés dans les couches supérieures incomplètes, ou électrons de valence pouvant former des liaisons avec d'autres atomes (covalente ou ionique),
l'interaction d'échange entre deux électrons, i.e. effet quantique qui fait varier l'énergie d'un ou plusieurs électrons (en plus ou en moins) quand leur fonctions d'onde se superposent : ce phénomène est à l'origine du ferromagnétisme.
On tire de ce principe de Pauli une règle simple $ L+S$ est pair, et $ L+S+I$ est impair, appelé aussi principe de Pauli généralisé, dans lesquels :
$S$ le spin et $I$, l'isospin de valeurs demi-entières ou entières (ou nulles).
Le principe de Pauli a aussi une autre conséquence majeure en astrophysique par la répulsion entre les fermions à l'origine de la pression de dégénérescence dans les étoiles.
Soit un système de deux bosons identiques (1,2) : il est décrit par une fonction d’onde symétrique sous l’échange des particules : $\psi_{12}\leftrightarrows\psi_{21}$.
2. Les particules de spin entier ne sont pas assujetties au principe d'exclusion de Pauli : plusieurs bosons peuvent occuper simultanément un même état quantique, ce qui n'est pas le cas des fermions.
Remarque : Les statistiques (Fermi-Dirac et Bose-Einstein) deviennent des statistiques Maxwell-Boltzmann à haute température ou à faible concentration, c'est-à-dire en mécanique statistique classique quand les effets quantiques sont négligeables.
truc de la ceinture 1 et 2). 
