Mécanique quantique
Équation de Dirac

En 1928, Paul Dirac (1902-1984) introduisit la relativité dans l’équation de Schrödinger.

Problématique

1. Cette équation de Schrödinger est sous la forme : $i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}|\Psi(t)\rangle=\hat H|\Psi(t)\rangle$.

• 

  dans laquelle, $i$ est l'unité imaginaire ($i^2=−1$) ;
• $\hbar$ est la constante de Planck réduite ou de Dirac ($\hbar=h/2\pi$) ;
• $\hat H=\dfrac{\hat{\vec P}^2}{2m}+V(\hat{\vec r},t)$ est l'hamiltonien, dépendant du temps en général, l'observable correspondant à l'énergie totale du système, c'est-à-dire la somme de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle ;
• $\hat{\vec P}$ est l'observable impulsion ;
• $\hat{\vec r}$ est l'observable position.

Pour une particule se déplaçant dans un champ électrique, l'équation prend la forme :

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}\Psi(r,t)=\left[-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+V(r,t)\right]\Psi(r,t)$

En outre, la fonction d'onde exprimée en coordonnées sphériques peut être décomposée en un produit de trois fonctions dont les solutions sont le rayon (nombre quantique $n$), la colatitude relié à l'angle zénital $ \theta$ (nombre quantique $\ell$), la longitude liée à l'angle azimutal $\phi$ (nombre quantique $m_\ell$), ce qui implique forcément leur interdépendance.

$\psi(r,\theta,\phi)=\underbrace{R(r)}_{n}\overbrace{P(\theta)F(\phi)}^{\ell,\;m_\ell}$

2. Nous pouvons voir deux choses dans l'équation de Schrödinger :

• 

  elle ne prend pas en compte le spin ;
• le terme de temps est linéaire, alors que celui de l'espace est quadratique, i.e. au carré : $\nabla^2$ est l'opérateur laplacien qui transforme la position $r$.

3. L'équation de Klein-Gordon, découverte indépendemment par 1926 par Oskar Klein (1894-1977) et Walter Gordon (1893-1939) , version relativiste de l’équation de Schrödinger, avait déjà essayé de résoudre ce problème.

$\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi-\nabla^2\psi+\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi=0$.

• Toutefois, la densité de probabilité trouvée pouvait être négative, ce qui était impossible, car elle est proportionnelle au module au carré de la fonction d'onde.
• Néanmoins, cette équation reste valable pour certaines particules, et en particulier celles de spin nul, chargée ou non.

Équation de Dirac

Paul Dirac proposa une fonction d'onde relativiste (équation de Dirac) qui prenait pleinement en compte la relativité restreinte dans le contexte de la mécanique quantique.

Quadrivecteur

Paul Dirac voulait transformer l'équation de Schrödinger afin de la rendre invariante par l'action du groupe de Lorentz.

En physique relativiste, le temps et l'espace sont reliés par un vecteur espace-temps.

On utilise l'espace de Minkowski, du nom du mathématicien allemand Hermann Minkowski (1864-1909), espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte.

• trois dimensions spatiales classiques $x$, $y$ et $z$ ;
• une dimension temporelle $t$, multiplié par $c$, la vitesse de la lumière dans le vide.

L'espace de Minkowski est considéré comme un espace plat et sera remplacé par un espace courbe dans la relativité générale d'Albert Einstein en 1912.

On définit donc un quadrivecteur position qui correspond aux coordonnées $(ct,x,y,z)$ qui dépendent toutes du référentiel.

Pour l'instant, seul l'espace-temps, qui est mathématiquement un espace de Minkowski en relativité restreinte et un espace courbe quelconque en relativité générale, est invariant quel que soit le référentiel choisi, tandis que ses composantes d'espace et temps en sont des aspects qui dépendent du point de vue, i.e. du référentiel.

1. La transformation de Lorentz est une transformation linéaire des coordonnées d'un point dans l'espace-temps de Minkowski.

Cette transformation donne la relation entre les coordonnées du quadrivecteur dans deux repères inertiels pour que la quantité $(ct)^2-x^2-y^2-z^2$ soit constante.

Les transformations de Lorentz, groupe de Lorentz à 6 paramètres, peuvent toujours s'exprimer par le produit d'une rotation et d'une transformation spéciale de Lorentz (" boost " en anglais, i.e. changement de point de vue).

• On définit alors le facteur de Lorentz $\gamma$ qui intervient dans la transformation de Lorentz du repère $R$ au repère propre de la particule : $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$, qui ne dépend que de la vitesse de la particule dans le repère $R$ (cf. page web).

• 

  Le facteur de Lorentz s'applique à la dilatation du temps et la contraction des longueurs en relativité restreinte.

2. Si l'espace et le temps sont intimement lié en relativité restreinte, l'énergie et l'impulsion le sont aussi et forme un quadrivecteur (cf. le quadrivecteur énergie-impulsion et quadrivecteurs)

• Le quadrimoment, généralisation du moment linéaire tridimensionnel de la physique classique est représenté sous la forme d'un quadrivecteur de l'espace de Minkowski.
• $\dfrac{E^2}{c^2}-p^2=m^2c^2$ (cf. impulsion, masse, énergie).

Spineurs de Dirac

Si dans l'équation de Schrödinger, la fonction d'onde n'a qu'une seule composante, i.e. un seul vecteur, l'équation de Dirac comporte 4 équations couplées d'un vecteur à 4 composantes (bispineur) liés par des matrices $ 4\times4$. L'équation originale proposée par Dirac est la suivante :

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}\psi(x,t)=\left(\beta mc^2+c\left(\sum\limits_{n=1}^{3}\alpha_np_n\right)\right)\psi(x,t)$

• où le temps et l'espace sont symétriques et linéaires,
• $\psi=\psi(x,t)$ est la fonction d'onde, $m$, la masse de l'électron, $(x,t)$, les coordonnées de l'espace-temps,

• 

  $p_1,p_2,p_3$ les composantes de l'opérateur de mouvement, $c$, la vitesse de la lumière, $\alpha$ et $\beta$ des matrices 4x4, ce qui impose que la fonction d'onde possède 4 composantes, les deux premières sont semblables aux spineurs non relativistes de Pauli qui donnent les degré de liberté du spin (cf. les spineurs en physique et les spineurs de Dirac).

Une version très compacte de cette équation pour un fermion libre est (équation de Dirac) :

$(i\gamma^\mu\partial\mu-mI)\psi=0$, où

• $\psi$ est le bispineur à quatre composantes ($\psi_1$, $\psi_2$, $\psi_3$, et $\psi_4$), dont deux servent à décrire la particule avec un spin de $\pm\frac{1}{2}$, et les deux autres, l'antiparticule avec un spin de $\pm\frac{1}{2}$,
• $\gamma_\mu$ ($\mu=0,1,2,3$), les matrices $4\times4$ de Dirac et $I$, la matrice identité.

Les quatre matrices de Dirac sont des matrices gamma, $\{\gamma^0,\;\gamma^1,\;\gamma^2,\;\gamma^3\}$, dans lesquelles $\gamma^0$ est une matrice temporelle et $\gamma^1,\;\gamma^2,\;\gamma^3$ des matrices spaciales.

Les solutions de l'équation de Dirac, équation relativiste, introduisent dans l'équation de Schrödinger :

• la prise en compte du spin, qui a été découvert en 1922 par l'expérience de Stern et Gerlach,
• l'existence des antiparticules: le positron a été découvert en 1932 par Carl David Anderson (1905-1991).

Spin-orbitales