Sa norme $\parallel\cdot\parallel$ est un produit scalaire ou hermitien $\langle\cdot\vert\cdot\rangle$ tel que : $\parallel x\parallel=\sqrt{\langle x,x\rangle}$.
la distance est définie par $d(x,y)= \parallel x-y\parallel$.
L'espace de Hilbert est complet : on peut le définir comme préhilbertien complet.
Un espace métrique $M$ est dit complet si toute suite de Cauchy de $M$ a une limite dans $M$ (c’est-à-dire qu'elle converge dans $M$).
Une suite $(r_n)$ de réels ou de complexes est dite de Cauchy, lorsque les termes de la suite se rapprochent uniformément les uns des autres en l'infini tel que $\lim\limits_{p,q\to\infty}\vert r_p-r_q\vert=0$.
tous isomorphes, ce qui est démontré dans une base hilbertienne par l'application $\ell^2(\mathbb N)$ dans $H$ - $\ell^2$ est l'espace des fonctions de carré intégrable, faisant partie des espaces de suites $\ell^p$ -.
Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien de dimension 3, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels ($\mathcal R^3$) et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien.
Soit des classes d'équivalence de vecteurs $v$ de $H$ avec $v\neq 0$, $v\sim w$ si $v=\lambda w$, $\lambda$ étant un nombre complexe non nul.
Les classes d'équivalence pour " $\sim$ " sont appelés rayons projectifs, c'est-à-dire qu'un rayon est un ensemble de vecteurs non nuls différant par seulement un facteur scalaire complexe.
Les grandeurs physiques sont représentées par des observables, application linéaire d'un espace de Hilbert dans lui-même.
La projection du vecteur, représentant l'état quantique sur un des vecteurs propres de cette observable, donne une réalisation possible d'un état physique (une position donnée, une énergie donnée etc..).
On quitte le domaine des nombres complexes en calculant la probabilité de réalisation de cet état physique, donnée par le module complexe au carré du vecteur projeté.
Du point de vue physique, les fonctions d'ondes $\psi$ et $\lambda\psi$ représentent un même état physique, $\forall\lambda\ne 0$.
Un des rayons peut être choisi comme un vecteur d'état et il est classique de prendre un $\vert\psi\rangle$ tel que $\langle\psi|\psi\rangle=1$. Dans ce cas-là, la fonction d'onde est dite normalisée.
Fonction d'onde gaussienne ψ d'une particule libre initialement très localisée
Cette contrainte ne détermine pas complètement $\psi$, car il pourrait être multiplié par un $\lambda$, nombre complexe quelconque dont la valeur absolue est égale à 1 (action $U(1)$, dit aussi cercle unité ou $T$ ).
Ce $\lambda$, appelé facteur de phase et noté $e^{i\Theta}$, peut être choisi librement, $\theta$ est appelé phase. Si on multiplie l'équation d'une onde plane par un facteur de phase, on la décale.
L'intuition géométrique joue un rôle important dans cet espace et on emploie par exemple des propriétés analogues à celle du théorème de Pythagore, la règle du parallélogramme ou les hauteurs d'un triangle : dans ce cas, les projections orthogonales sur un sous-espace peuvent résoudre les problèmes.
Bases
En algèbre linéaire, une base d'un espace vectoriel est une famille de vecteurs de cet espace telle que chaque vecteur de l'espace puisse être exprimé de manière unique comme combinaison linéaire de vecteurs de cette base.
Soit un vecteur $\vec v=(2,3)$ dans un plan euclidien, $\vec i$ et $\vec j$ les vecteurs unitaires de l'axe des abscisses et des ordonnées, il n'y a qu'une seule position de ce vecteur : $\vec v=2\vec i+3\vec j$
Dans une telle base, les coordonnées d'un vecteur quelconque de l'espace sont égales aux produits scalaires respectifs de ce vecteur par chacun des vecteurs de base, et le produit scalaire de deux vecteurs quelconques a une expression canonique en fonction de leurs coordonnées.
Dans un espace préhilbertien, une famille de vecteurs $(v_i)_{i\in I}$ est dite :
orthogonale si ces vecteurs sont orthogonaux deux à deux : $\forall i,j\in I\;\left(i\neq j\rightarrow v_i\perp v_j\right)$ ;
orthonormale si, en plus, tous les vecteurs sont unitaires : $\forall i\in I\;\parallel x\parallel=1$.
La base de Hilbert est une généralisation de la base précédente aux espaces de dimensions non finies.
Une base hilbertienne, en dimension infinie, n'est pas une base au sens algébrique du terme, car un espace complet n'a pas de base algébrique dénombrable.
Comme précédemment, on va essayer de décomposer n'importe quel vecteur en somme de vecteur colinéaires, sauf que dans ce cas, on ne peut pas le décrire précisément par ses coordonnées (combinaison linéaire finie des vecteurs de la base).
Dans un espace euclidien de dimension 3 ($\mathcal R^3$) par exemple, on approche ce vecteur par une suite infinie de vecteurs (série) colinéaires aux vecteurs de la base ayant chacun des coordonnées finies.
Tombe de Hilbert
Cette série est : $\sum\limits_{n=0}^{^N}\parallel x_n\parallel\lt\infty$
Cette série converge vers le vecteur à décomposer ($L$) tel que : $\left\| L-\sum\limits_{n=0}^{^N}\right\|\rightarrow0$ si $N\rightarrow\infty$.
orthonormale de $H$ : $\forall i,j\in I\quad i\neq j\Rightarrow\langle e_i\vert e_j\rangle=0$ et $\forall i\in I\quad \langle e_i\vert e_i\rangle=\parallel e_i\parallel^2=1$ ;
complète : $\forall x\in H$, $\exists(\lambda_i)_{i\in I}$, tel que $\sum\limits_{i\in I}\lambda_ie_i=x$.
David Hilbert s'est toujours battu pour donner des réponses à des problèmes complexes. Il s'est toujours opposé au pessimisme scientifique pour lequel certaines énigmes resteront toujours sans réponse - ignoramus et ignorabimus : « Nous ne savons pas et nous ne saurons jamais » -. Sur sa tombe est écrit en allemand : « Nous devons savoir. Nous saurons » (" Wir müssen wissen. Wir werden wissen ").
