Mécanique quantique
Symétries et lois d'invariance : vue d'ensemble
- Mathématiques
- Mécanique quantique
- Dualité onde-corpuscule
- Relativité
- Champs en physique
- Rappels de mécanique classique newtonienne
- Rappels de mécanique analytique
- Moments en mécanique quantique
- Nombres quantiques
- Postulats de la mécanique quantique
- Postulat I : principe de superposition
- Postulat II : principe de correspondance
ou description quantique d'une grandeur physique - Postulat III : principe de quantification
ou valeurs possibles d'une observable - Postulat IV : décomposition spectrale ou
interprétation probabiliste de la fonction d'onde - Postulat V : réduction du paquet d'onde
- Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
- Principe d'incertitude
- Observables
- État quantique
- Fonction d'onde
- Symétries
- Modèle standard des particules
- Interactions fondamentales ou élémentaires
Les symétries sont des transformations qui agissent sur un objet géométrique ou un système physique en préservant :
- des propriétés géométriques (par exemple les dimensions, les angles, ou le volume…), ou
- des propriétés physiques (structure interne, dynamique…).
Vue d'ensemble
En physique, la notion de symétrie est intimement associée à la notion d'invariance : elle renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vue distincts en termes de description, mais équivalents quant aux prédictions effectuées sur son évolution.
On parle donc du groupe de symétrie (ou d’invariance) de l’objet considéré : la composition de deux symétries est encore une symétrie.
Symétries et invariances
La symétrie permet de simplifier les lois de la physique, i.e. elles sont invariantes lorsqu’on applique certaines transformations. Cette transformation doit être une transformation unitaire.
Un opérateur linéaire, noté avec un chapeau $\hat Oper$ satisfait la condition suivante :
- $U(\lambda|\varphi\rangle+\mu|\psi\rangle=\lambda U|\varphi\rangle+\mu U|\psi\rangle$, d'où
- $\langle\varphi|U^\dagger|\psi\rangle=\langle U\varphi|\psi\rangle=\langle|\psi|U\varphi\rangle^\ast$.
Un opérateur unitaire $\hat Oper$ satisfait la condition suivante :
$\langle U\varphi|U\psi\rangle=\langle \varphi|\psi\rangle$
Prenons un exemple pour mieux comprendre. Soit une observable, on peut écrire :
- $|i'\rangle\;=\;U|i\rangle$ et $|f'\rangle\;=\;U|f\rangle$ dans laquelle $U$ représente la transformation unitaire sur l'état initial et l'état final.
- Cette transformation nécessite la matrice-$S$ (matrice de diffusion - p: 75 - qui est unitaire), qui laisse le résultat inchangé d'où : $\langle f|S|i\rangle\;=\;\langle f'|S|i'\rangle$ $=\langle f|U^\dagger SU|i\rangle$ avec $[SU]=0$, i.e. l'opérateur de transformation $U$ commute avec la matrice-$S$.
- La matrice $S$ est reliée à l'hamiltonien $H$, donc $[HU]=0$ pour que l'invariance soit vérifiée.
- $U^\dagger$ est la matrice conjuguée.
Cette correspondance permet aussi de conserver des quantités, ce qui peut être formulé par le théorème de Noether : à toute transformation qui laisse invariantes les équations de mouvement ou autrement dit, qui commute avec l’hamiltonien, on peut associer une quantité conservée (les théorèmes de Noether : invariance et lois de conservation au XXeme siècle).
$H\;\rightarrow\;H'=UH=H$, d'où $\Psi\;\rightarrow\;\Psi'=U\Psi=\Psi$ dans lequel $\Psi$ représente une fonction d'onde.
La correspondance entre ces deux notions - symétrie et loi d'invariance - est attribuée à Emmy Noether (1882-1935) en 1917 : à toute loi de conservation correspond une symétrie et à toute symétrie correspond une loi de conservation. Cette correspondance est démontrée pour :
- la translation
:
- dans le temps : conservation de l'énergie ;
- dans l'espace : conservation de l'impulsion ;
- la rotation : conservation du moment angulaire ou cinétique ;
- l'invariance de jauge : conservation de la charge électrique.
Brisures de symétrie
Si, lors d'une expérience, on n'observe pas de symétrie, on dit que la symétrie est brisée.
- Soit, c'est une brisure explicite lorsque la loi qui régit son comportement est modifiée et n'est plus invariante.
- Soit, c'est une brisure spontanée lorsque les lois sous-jacentes sont invariantes sous la symétrie, mais que la réalisation particulière du système observé ne l'est pas.
Il existe des brisures spontanées de symétrie, en particulier en mécanique quantique : sous certaines conditions, les propriétés de la matière ne semblent pas respecter les équations invariantes qui décrivent le mouvement des particules (brisures de symétrie).
- L'exemple pris le plus souvent est celui d'une balle en équilibre sur le sommet d'une montagne.
- Cet état est symétrique, mais instable : la bille roule d'un côté ou de l'autre, brisant ainsi la symétrie du système.
On détecte qu'une symétrie est spontanément brisée si on remarque la présence d'un paramètre continu, par exemple l'énergie du système, dont à une certaine valeur, la symétrie est complètement restaurée.
Prenons par exemple un système à une $E\approx100\,GeV$ dans lequel la force électromagnétique et la force faible constitue une seule force, la force électrofaible. En dessous, de cette énergie, il y a brisure de symétrie et séparation des deux forces.
En théorie quantique des champs, on dit qu'une symétrie de la théorie possède une anomalie (ou que la symétrie est anormale) lorsqu'elle est une invariance classique au niveau de l'action mais qu'elle est brisée une fois que la théorie est quantifiée.
C'est le cas par exemple le cas pour le moment anomal de l'électron.
Le prix Nobel 2008 a été attribué aux chercheurs Yoichiro Nambu (1921-2015), Makoto Kobayashi et Toshihide Maskawa pour leurs travaux sur la brisure de symétrie entre particules et antiparticules (symétrie $\mathcal C\mathcal P$).
- Leur matrice, appelée matrice PMNS, explique l'oscillation de neutrinos, i.e. neutrino créé avec une certaine saveur leptonique (électronique, muonique ou tauique) qui peut être mesurée plus tard avec une saveur différente.
- Si la symétrie était parfaite, nous aurions autant de particules que d'antiparticules dans notre monde réel. Or, nous ne sommes formés que de particules.
Lois de conservation | |||
---|---|---|---|
Quantité conservée | Interactions fortes |
Interactions |
Interactions faibles |
Énergie-impulsion | Oui | Oui | Oui |
Moment cinétique total | Oui | Oui | Oui |
Moment angulaire total | Oui | Oui | |
Spin | Oui | Oui | Oui |
Parité $\mathcal P$ | Oui | Oui | |
Conjugaison de charge $\mathcal C$ | Oui | Oui | |
Symétrie $\mathcal C\mathcal P$ | Oui | Oui | |
Parité $\mathcal G$ | Oui | Oui | |
Inversion temps $\mathcal T$ | Oui | Oui | |
Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$ | Oui | Oui | Oui |
$Q$ : charge électrique | Oui | Oui | Oui |
$B$ : nombre baryonique | Oui | Oui | Oui |
$S$ : étrangeté | Oui | Oui | |
$C$ : charm | Oui | Oui | |
$B'$ : bottom | Oui | Oui | |
$T$ : top | Oui | Oui | |
Charge de couleur | Oui | Oui | Oui |
$L$ : nombre leptonique | Oui | Oui | Oui |
$L_e$ : nombre électronique | Oui | Oui | Oui |
$L_\mu$ : nombre muonique | Oui | Oui | Oui |
$L_\tau$ : nombre tauique | Oui | Oui | Oui |
$I$ : isospin fort | Oui | Oui | |
$I_3$ : isospin fort | Oui | Oui |
Quelques définitions sur la symétrie
MathématiquesMécanique quantiqueDualité onde-corpusculeRelativité avant EinteinRelativité restreinteChamps en physiqueMécanique newtonienneMécanique analytiqueMoments en mécanique quantiqueMoments angulairesMoments magnétiquesNombres quantiquesPostulats de la mécanique quantiquePrincipe d'incertitudeObservablesÉtat quantiqueFonction d'ondeÉquation de SchrödingerOrbitalesÉquation de DiracSpin-orbitalesCouplage spin-orbiteConfiguration électronique SymétriesGroupes de symétrieParité ou symétrie $\mathcal P$ Hélicité et chiralitéSymétries $\mathcal C$, $\mathcal C\mathcal P$, $\mathcal C\mathcal P$, $\mathcal T$, $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$Modèle standard des particules