Les symétries sont des transformations qui agissent sur un objet géométrique ou un système physique en préservant :
Le corps de l'homme de Vitruve Léonard de Vinci (1492)
des propriétés géométriques (par exemple les dimensions, les angles, ou le volume…), ou
des propriétés physiques (structure interne, dynamique…).
Vue d'ensemble
En physique, la notion de symétrie est intimement associée à la notion d'invariance : elle renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vue distincts en termes de description, mais équivalents quant aux prédictions effectuées sur son évolution.
On parle donc du groupe de symétrie (ou d’invariance) de l’objet considéré : la composition de deux symétries est encore une symétrie.
Symétries et invariances
La symétrie permet de simplifier les lois de la physique, i.e. elles sont invariantes lorsqu’on applique certaines transformations. Cette transformation doit être une transformation unitaire.
Un opérateur linéaire, noté avec un chapeau $\hat Oper$ satisfait la condition suivante :
Prenons un exemple pour mieux comprendre. Soit une observable, on peut écrire :
$|i'\rangle\;=\;U|i\rangle$ et $|f'\rangle\;=\;U|f\rangle$ dans laquelle $U$ représente la transformation unitaire sur l'état initial et l'état final.
Cette transformation nécessite la matrice-$S$ (matrice de diffusion - p: 75 - qui est unitaire), qui laisse le résultat inchangé d'où : $\langle f|S|i\rangle\;=\;\langle f'|S|i'\rangle$ $=\langle f|U^\dagger SU|i\rangle$ avec $[SU]=0$, i.e. l'opérateur de transformation $U$ commute avec la matrice-$S$.
La matrice $S$ est reliée à l'hamiltonien $H$, donc $[HU]=0$ pour que l'invariance soit vérifiée.
La correspondance entre ces deux notions - symétrie et loi d'invariance - est attribuée à Emmy Noether (1882-1935) en 1917 : à toute loi de conservation correspond une symétrie et à toute symétrie correspond une loi de conservation. Cette correspondance est démontrée pour :
Si, lors d'une expérience, on n'observe pas de symétrie, on dit que la symétrie est brisée.
Soit, c'est une brisure explicite lorsque la loi qui régit son comportement est modifiée et n'est plus invariante.
Soit, c'est une brisure spontanée lorsque les lois sous-jacentes sont invariantes sous la symétrie, mais que la réalisation particulière du système observé ne l'est pas.
Il existe des brisures spontanées de symétrie, en particulier en mécanique quantique : sous certaines conditions, les propriétés de la matière ne semblent pas respecter les équations invariantes qui décrivent le mouvement des particules (brisures de symétrie).
Champ de Higgs
(Figure : vetopsy.fr d'après planetastronomy.com)
L'exemple pris le plus souvent est celui d'une balle en équilibre sur le sommet d'une montagne.
Cet état est symétrique, mais instable : la bille roule d'un côté ou de l'autre, brisant ainsi la symétrie du système.
On détecte qu'une symétrie est spontanément brisée si on remarque la présence d'un paramètre continu, par exemple l'énergie du système, dont à une certaine valeur, la symétrie est complètement restaurée.
Prenons par exemple un système à une $E\approx100\,GeV$ dans lequel la force électromagnétique et la force faible constitue une seule force, la force électrofaible. En dessous, de cette énergie, il y a brisure de symétrie et séparation des deux forces.
En théorie quantique des champs, on dit qu'une symétrie de la théorie possède une anomalie (ou que la symétrie est anormale) lorsqu'elle est une invariance classique au niveau de l'action mais qu'elle est brisée une fois que la théorie est quantifiée.
Si la symétrie était parfaite, nous aurions autant de particules que d'antiparticules dans notre monde réel. Or, nous ne sommes formés que de particules.