La structure algébrique a comme spécificité par rapport aux autres types de structures d'être formée d’un ensemble combiné à une ou plusieurs lois de composition, éventuellement complétées par un ordre ou une topologie, le tout satisfaisant un certain nombre d'axiomes.
Une structure (ou modèle) est un ensemble muni de fonctions et de relations définies sur cet ensemble, définit par un triplet $\mathcal A=(A,\sigma,I)$ dans lequel :
$A$, ensemble de base de la structure $\mathcal A$ (ou domaine), ensemble non vide noté encore $dom(\mathcal A)$ ou $\vert\mathcal A\vert$ ;
$\sigma$ la signature, telle qu'à chaque symbole on associe un entier naturel ($s$), pour qui $n=(ar)s$, appelé arité de s ;
Les mathématiques
L'arité d'une fonction, ou opération, est le nombre d'arguments ou d'opérandes qu'elle requiert : par exemple pour l'addition ou la multiplication, l'arité est 2 (il faut deux nombres pour faire le calcul), 1 pour l'opposé et 0 pour les constantes ou éléments distinctifs (0 pour l'addition et 1 pour la multiplication) qui font partie de la base.
$I$, l'interprétation de la signature sur l'ensemble, c'est-à-dire qui associe une ou des fonctions ou des relations à la signature.
Soit les nombres rationnels $\mathbb{Q}$, les interprétations sont :
$\mathcal I_Q(+):\mathcal Q\times \mathcal Q\rightarrow \mathcal Q$ est l'addition ;
$\mathcal I_Q(\times):\mathcal Q\times \mathcal Q\rightarrow \mathcal Q$ est la multiplication ;
$\mathcal I_Q(-):\mathcal Q\rightarrow \mathcal Q$ est la fonction $x\rightarrow -x$ ;
$\mathcal I_Q(0,1)\in\mathcal Q$ sont les constantes.
Un cas particulier est un endomorphisme, appelés aussi opérateur linéaire, est une application linéaire ($f$) d'un objet sur lui-même (espace vectoriel -$E$ -, groupe - $G$ -…), telle que $f:E\rightarrow E$ ou $f:G\rightarrow G$.
Endomorphisme diagonalisable
(Figure : vetopsy.fr d'après Jean Luc W)
Un isomorphisme est un morphisme qui possède un morphisme réciproque (ou inverse). Un automorphisme est un endomorphisme qui est aussi un isomorphisme.
L'ensemble des endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ est habituellement noté $End(E)$ ou $L(E)$.
La réduction d'endomorphisme a pour objectif d'exprimer des matrices et des endomorphismes plus simplement pour faciliter les calculs.
La notion de valeur propre devient le bon outil dans ce contexte. Lorsqu'il existe une base de vecteurs propres, on parle de diagonalisation.
Une application est une relation entre deux ensembles pour laquelle chaque élément du premier (ensemble de départ ou source) est relié à un unique élément du second (ensemble d'arrivée ou but).
René Descartes (1596-1650)
La fonction - règle de calcul permettant de définir un résultat dont la valeur dépend d'une ou plusieurs variables -, souvent employée pour application, désigne plus largement les relations pour lesquelles chaque élément de l'ensemble de départ est relié à au plus un élément de l'ensemble d'arrivée.
Une application est donc la restriction d'une fonction à son ensemble de définition.
L'utilisation des coordonnées, liens entre géométrie et algèbre fut introduite en 1637 par René Descartes (1596-1650) et Pierre de Fermat (?-1685).
Une application linéaire (opérateur linéaire) est une application entre deux espaces vectoriels sur un corps $K$ ou deux modules sur un anneau qui respecte l'addition des vecteurs et la multiplication scalaire définie dans ces espaces vectoriels ou modules, c'est-à-dire qu'elle " préserve les combinaisons linéaires ".
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels à gauche sur un corps $K$, une application $f$ : $E\rightarrow F$ est dite linéaire (morphisme de $K$-espaces vectoriels) si elle vérifie à la fois :
$\forall\lambda \in K\quad \forall x\in E\quad f(\lambda x)=\lambda f(x)$ : homogénéité de degré 1 - i.e. qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments - et donc forcément continue - si, à des variations infinitésimales de la variable $x$, correspondent des variations infinitésimales de la valeur $f(x)$.
$\displaystyle f$ est linéaire si, pour toute famille finie $\displaystyle(v_i)_{i\in I}$ de vecteurs et pour toute famille $\displaystyle(\lambda_i)_{i\in I}$ de scalaires (c'est-à-dire d'éléments de $K$), $\displaystyle f\left(\sum\limits_{i\in I}\lambda_iv_i\right)=\sum\limits_{i\in I}\lambda_if(v_i)$.
Application-fonction
$\psi$ est une forme bilinéaire sur $E$ si $\psi$ est linéaire par rapport à chacune des deux variables, $\forall(xy)\in E^2,\; x\rightarrow\psi(x,y)$ et $y\rightarrow\psi(x,y)$ sont linéaires.
Une forme bilinéaire $\psi$ est dite symétrique si $\forall(xy)\in E^2,\; \psi(x,y)=\psi(y,x)$.
Une forme bilinéaire symétrique $\psi$ est dite positive ssi $\forall(x)\in E,\; \psi(x,x)\geqslant 0$.
Si $\psi$ est une forme bilinéaire symétrique et si on si $\forall(x)\in E,\; q(x)=\psi(x,x)$, l'application $q$ de $E$ dans $\mathbb R$ est la forme quadratique - polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables - associé à $\psi$ (pour comprendre ces termes, cf. espaces euclidiens et applications bilinéaires et formes quadratiques
