Lorsque l'opérateur hamiltonien agit sur une certaine fonction d'onde $\psi$, et que le résultat est proportionnel à $\psi$, alors $\psi$ est un état stationnaire, et la constante de proportionnalité, $E$, est l'énergie de l'état $\psi$.
Séparation de l'équation de Schrödinger
(Figure : vetopsy.fr)
$V(r)$ dépend uniquement de la distance entre le noyau et l'électron, on utilise les coordonnées sphériques : $r$, $\theta$ et $\phi$, d'où $\psi(r)=\psi(r,\theta,\phi)$ (modèle du champ central pour plusieurs électrons).
La partie radiale est : $R_{n,\ell}(r)=\sqrt{\left(\dfrac{2}{na_0}\right)^3\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n(n+\ell)!}}e^{-\left(\dfrac{r}{na_0}\right)}r^\ell L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(r)$.
La partie angulaire est : $Y_{\ell,m_\ell}(\theta,\phi)=\sqrt{\dfrac{(2\ell+1)}{4\pi}\dfrac{(\ell-m_\ell)!}{(\ell+m_\ell)!}}P^{m_\ell}_\ell(cos\theta)e^{im_\ell\phi}$ (cf. table des harmoniques sphériques)
$\psi_{1,0,0}$ ne dépend que de r et est donc sphérique (à symétrie sphérique).
2. La densité de probabilité de présence de l'électron dans un volume $d(r)$ autour d'un point donné est donné par : $|\psi_{1,0,0}|^2(r)=\dfrac{e^{-2r/a_0}}{4\pi a_0^3}$.
On cherche la probabilité ($P{r}$) de trouver l'électron à une distance $r$ du noyau sur la surface d'une sphère ($4\pi r^2$). On parle de surface d'une sphère, mais en réalité c'est un volume élémentaire.
La densité de probabilité radiale est : $P(r)dr=|\psi_{1,0,0}|^2dv$, $dv$ étant le volume la sphère de rayon $r$ et d'épaisseur $dr$, d'où $dv=4\pi r^2dr$.
La distance la plus probable est le rayon de Bohr : $a_0=0,53$ Å.
Dans la figure ci-contre, la densité de probabilité $P(r)$ est en ordonnée et le rayon de Bohr ($a_0$) en abscisse. Les probabilités de trouver l'électron sont en gris (plus foncé pour des probabilités élevées) ou en couleur (rouge, forte probabilité, bleu, faible probabilité).
l'énergie cinétique ou angulaire (force centrifuge) due à la vitesse de l'électron : $E_{angul}=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(r)=\dfrac{\hbar^2}{2m_ea_0}\left(\dfrac{2}{r}-\dfrac{1}{a_0}\right)\psi(r)$
Si on veut trouver la probabilité de trouver un électron entre deux rayons ($r_1$ et $r_2$) par exemple, on calcule : $P=\dfrac{1}{a_0^3}\int\limits_{r_1}^{r_2}r^2e^{\frac{-2r}{a_0}}dr$.
Si on prend par exemple, $r_1=0,5$ et $r_2=1,5$, $P=0,496$, donc, l’électron a une probabilité de 0,496 de se trouver entre 0,5 bohr et 1,5 bohr.
Cela explique la notion de nuage électronique.
On peut aussi en déduire que trouver un électron a un endroit déterminé ($r_1=r_2$) est nul, ce qui confirme le principe d'incertitude.
Autres orbitales s
Les autres orbitales s sont caractérisées $\ell=0$ et $m_\ell=0$.
La partie angulaire est identique à la précédente ($Y_{0,0}(\theta,\phi)=\dfrac{1}{\sqrt{4\pi}}$) : elles sont donc sphériques.
Par contre $n\ne1$, ce qui veut dire que leur partie radiale $R_{n,0}(r)$ diffère et les calculs sont plus complexes.
Pour l'orbitale 2s par exemple, $\psi$ peut s'annuler pour $r=2a_0$. Cette surface est appelé noeud de la fonction d'onde, i.e. correspond à une inversion de la fonction et la probabilité d'y trouver l'électron est nulle.
Pour l'orbitale 3s, on trouve 2 noeuds…, d'où $n-1$ noeuds.
$Y_{1,0}(\theta,\phi)$ est indépendant de $\phi$, donc est symétrique par rapport à l'axe $z$ (orbitale " $p_z$ ") ;
$Y_{1,0}(\theta,\phi)=0$ pour $\theta={\pi}{2}$, i.e. $\psi_{2,1,0}$ est nulle sur le plan $z$ appelé plan nodal ;
On utilise des couleurs différentes ou des signes $+$ ou $-$ sachant que cela n'a aucune valeur puisque la densité de probabilité est $|\psi(r,\theta,\phi)|^2$.
Si on prend maintenant :
$m_\ell=-1$, la symétrie est par rapport à l'axe $x$ : elle sera appelée $p(x)$.
$m_\ell=+1$, la symétrie est par rapport à l'axe $y$ : elle sera appelée $p(y)$.
Autres orbitales
Les orbitales d sont caractérisées par $\ell=2$ et $m_\ell=--2,\;-1,\;0,\;+1$ et comprennent donc 5 orbitales…
Les formes deviennent alors beaucoup plus complexes.
carbone asymétrique).
