Nombres quantiques
Nombre quantique de spin ($s$)

Les nombres quantiques dits " intrinsèques " spécifient un état quantique complet et unique d'un électron dans un atome (case quantique).

Les trois premiers permettent de décrire leur orbitales :

• 

  le nombre quantique principal - $n$ -, qui définit la taille et l'énergie de l'orbitale,
• le nombre quantique secondaire (ou azimutal) - $\ell$-, qui définit la forme de l'orbitale (moment angulaire orbital),
• le nombre quantique tertiaire ou magnétique - $m_\ell$ -, qui définit l'orientation de l'orbitale dans l’espace (projection du moment angulaire orbital).

Les trois premiers nombres quantiques sont des solutions de l’équation de Schrödinger.

Le quatrième est le nombre quantique de spin - $s$ -, spin, qui est le moment angulaire intrinsèque des particules, essentiel en mécanique quantique.

L'équation de Dirac, en 1928, a pris en compte le spin dans le contexte de la relativité restreinte.

Valeurs du spin.

Le spin ne peut prendre que des valeurs quantifiées, i.e. il existe, pour l'opérateur spin, une base de vecteurs propres notés $\left\vert s,m_s\right\rangle$ où :

• $s$ est entier ou demi-entier,

Dans l’usage courant, dire qu’une particule a un spin de 1/2 signifie que son moment angulaire de spin est égal à 1/2, i.e. la longueur du vecteur $\vec S$ est de 1/2 : on laisse tomber $\hbar$.

• $m_s$ est un entier ou demi-entier prenant l'une des $ 2s+1$ valeurs $−s\le{m_s}\le +s$ lors de la projection sur l'axe $ z$.

On retrouve ce $2s+1$, appelé multiplicité de spin, i.e. qui mesure la dégénérescence des fonctions d'ondes électroniques, c'est-à-dire le nombre de celles qui ne diffèrent que par l'orientation de leur spin (cf. configuration électronique) à l'origine :

• le couplage spin-orbite (appelée aussi couplage du moment angulaire) explique de nombreuses expériences sur l'atome,
• la notion de spin-orbitale.

1. Pour une particule de spin $s=1/2$ comme l'électron, le proton ou le neutron, $|\vec S|^2=s(s+1)=3/4$, qui est la valeur propre de l'opérateur $|\vec S|^2$, d'où $|\vec S|=\sqrt{3/4}$.

Comme $2s+1=2$, il existe seulement deux fonctions propres $|\alpha\rangle$ et $|\beta\rangle$ de l'opérateur $S_z$, projections de $\vec S$ sur l'axe $z$ qui sont deux valeurs propres :

• $m_s=+\;1/2$, noté $\left\vert+\right\rangle$ ou $\left\vert\uparrow\right\rangle$, désigné par  spin up ;
• $m_s=-\;1/2$, noté $\left\vert-\right\rangle$ ou $\left\vert\downarrow\right\rangle$, désigné par  spin down.

Cela veut dire, que si on applique un champ magnétique à l'électron et qu'on le considère comme un dipôle, il va se placer :

• soit parallèlement au champ, position la plus stable ($m_s=+\;1/2$),
• soit antiparallèlement, position la moins stable ($m_s=-\;1/2$).

Ces positions correspondent à deux niveaux énergétiques.

2. Pour une particule de nombre quantique de spin $s=1$ donc $2s+1=3$, il existe seulement trois projections de spin distinctes, caractérisés par $m_s=-1,\;0,\;+1$.

Spin des particules élémentaires

La totalité des particules connues ou d'existence fortement suspectée possède un nombre quantique de spin compris entre 0 et 2.

Les fermions sont de spin demi-entier, les bosons de spin entier.

• 1. spin $s=0$ : boson de Higgs ;
• 2. spin $s=1/2$ : les fermions (quarks et leptons) ;
• 3. spin $s=1$ : les bosons de jauge (photon, gluon, bosons W et Z) ;
• 4. spin $s=3/2$ : le gravitino, particule hypothétique prévue par la supersymétrie, superpartenaire du graviton,
• 5. spin $s=2$ : le graviton, particule hypothétique vecteur de la gravitation.

Spin des particules composées

Le moment cinétique de spin nucléaire $ \overrightarrow{S}$ des particules composées de plusieurs particules élémentaires, comme le proton, le neutron, tout noyau atomique ou atome, est constitué de la composition vectorielle des spins  ($\overrightarrow{s}$) des particules individuelles.

Système polyélectronique

Dans un système polyélectronique, les spins de chaque électron se combinent.

Soit deux électrons $(1\;,2)$, dont les spins sont $s_1$ et $s_2$ :

• $|s_1-s_2|\le S\le s_1+s_2$, tel que $|S|^2=S(S+1)$.
• Les deux valeurs qui encadrent $S$ correspondent aux valeurs minimale et maximale de $|S|$ que l'on peut construire sous forme vectorielle.
• $S$ peut varier entre ses bornes par valeur entière, soit $S=0$ et $S=1$.
• Pour chaque valeur de $S$, $m_s$ varie entre $-S$ et $+S$.

En généralisant, pour un système de n électrons de spin $S$, il existe $2S+1$ valeurs possibles de la projection $M_s$ du vecteur $\vec S$ (cf. exemples et couplages de deux spin 1/2).

$2S+1$ est appelé mutiplicité de spin.

Atomes

Toutefois, le spin est aussi dépendant du nombre de nucléons et des interactions spin-orbite : il est difficile de tirer une règle générale car les études sur la structure du noyau sont encore en cours.

• Comme les électrons appariés dans les orbitales atomiques (principe d'exclusion de Pauli et configuration électronique), les paires de neutrons et les paires de protons ont un spin nul.
• Des exceptions existent : la paire neutron/proton a une énergie plus faible lorsque leur spin sont parallèles. C'est pour cela que ²H a un spin 1, alors que ³H a un spin 1/2.

Règle générale

1. Si le nombre de masse est pair (A : nombre de nucléons) :

• Si le nombre atomique est pair (Z : nombre de protons), $s=0$, comme celui de ¹²C, ¹⁶O… ;
• si le nombre atomique est impair, le spin est entier :
  • $s=1$ comme celui de ²H, ¹⁴N, ¹⁷O, ³⁵Cl, ⁶³Cu… ;
  • $s=3$ comme celui de ¹⁰B.

2. Si le nombre de masse est impair : $s=k/2$ où $k$ est un nombre impair :

• $s=1/2$ : certains noyaux atomiques à A impair (¹H, ¹⁹S, ¹³C, ¹⁹F, ³¹P…), mais aussi le proton et le neutron ;
• $s=3/2$ : ¹¹B, ²³Na… ;
• $s=5/2$ : ¹⁷O, ²⁷Al…

Les noyaux qui possèdent, soit un nombre de masse A impair, soit un nombre atomique Z impair, possèdent un spin non nul.

Un spin non nul intervient dans les phénomènes de résonance magnétique.

Structure hyperfine

Le couplage entre spin nucléaire et spin électronique (et moment angulaire orbital) est responsable de la structure hyperfine dans les spectres atomiques, i.e. des faibles variations et dédoublements dans les niveaux d'énergie des atomes, des molécules et des ions.

L'hydrogène est l'élément le plus abondant dans le milieu interstellaire :

• La molécule H₂ n'a pas de moment dipolaire et n'émet donc pas de ligne spectrale détectable aux fréquences radio.
• Les atomes d'hydrogène sont abondants dans les régions à faible densité du milieu interstellaire. Ils sont détectables dans la ligne hyperfine de $\lambda=21$ cm ($\nu_{10}\approx1420$ MHz) : un photon est émis quand le spin total $F$ passe de $F=1$ à $F=0$.

Conséquences de la découverte du spin