Nombres quantiques
Nombre quantique principal : $n$

Les nombres quantiques dits " intrinsèques " spécifient un état quantique complet et unique d'un électron dans un atome (case quantique).

Les trois premiers permettent de décrire leur orbitales :

• 

  le nombre quantique principal - $n$ -, qui définit la taille et l'énergie de l'orbitale,
• le nombre quantique secondaire (ou azimutal) - $\ell$ -, qui définit la forme de l'orbitale (moment angulaire orbital),
• le nombre quantique tertiaire ou magnétique - $m_\ell$ -, qui définit l'orientation de l'orbitale dans l’espace (projection du moment angulaire orbital).

Les trois premiers nombres quantiques sont des solutions de l’équation de Schrödinger.

Le quatrième est le nombre quantique de spin - $s$ -, spin, qui est le moment angulaire intrinsèque des particules, essentiel en mécanique quantique.

L'équation de Dirac, en 1928, a pris en compte le spin dans le contexte de la relativité restreinte.

Nombre quantique principal

Vue d'ensemble

Dans le modèle de l'atome de Bohr, le nombre quantique principal $n$ est un nombre entier ($n$ = 1, 2, 3...) qui définit :

• 

  la taille de l'orbitale, c'est-à-dire à quelle " distance " l'électron se trouve du noyau,

La distance n'est pas une distance fixe, mais une densité de probabilité de la présence d'un électron dans un volume.

• l'énergie de l'orbitale ou niveau d'énergie ou coque, c'est-à-dire une couche électronique.

Couches électroniques

Sept couches électroniques sont connues à l'état fondamental, numérotées de $n$=1 à 7 (K, " Kernel ", noyau en allemand, la plus proche du noyau, puis L, M, N, O, P, Q).

• Les états fondamentaux d'un système sont les états quantiques de plus basse énergie.
• Les états d'énergie supérieure sont des états excités. S'il existe plusieurs états excités correspondant à un même niveau d'énergie, ces derniers sont dits dégénérés.

Le spectre émis par les atomes est dû à ces sauts d'électrons d'une couche à l'autre : la formule de Rydberg, du nom du physicien suédois Johannes Rydberg (1854–1919) est utilisée depuis 1888 pour décrire les longueurs d'ondes émises par les éléments chimiques.

Pour l'hydrogène par exemple, $\dfrac{1}{\lambda_{vac}}=R\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)$, où :

• 

  $\lambda_{vac}$ est la longueur d'onde du rayonnement électromagnétique émis dans le vide,
• $R$ est la constante de Rydberg avec $R\approx1,097\times10^7\;m^{-1}\approx\dfrac{13,6\;ev}{hc}$,
• $n_1$ et $n_2$ ($n_1< n_2$) sont les nombres quantiques principaux des orbitales occupées avant et après le saut de l'électron.

Cette formule permet de retrouver le spectre de l'atome d'hydrogène.

• $n=1,\;2\rightarrow\infty$, séries de Lyman (ultraviolet),
• $n=2,\;3\rightarrow\infty$, séries de Balmer (visible),
• $n=3,\;4\rightarrow\infty$, séries de Ritz-Paschen (infrarouge proche),
• $n=4,\;5\rightarrow\infty$, séries de Brackett (infrarouge court),
• $n=5,\;6\rightarrow\infty$, séries de Pfund (infrarouge moyen),
• $n=6,\;7\rightarrow\infty$, séries de Humpfreys (infrarouge long)…

Quand l'atome possède plusieurs électrons, on emploie les règles de Slatter pour calculer l'énergie et, dans les couches supérieures à $n=3$, l'énergie est calculée avec le nombre quantique principal effectif.

Si n est le numéro d'ordre de la couche visée (K : $n$ = 1, L : $n$ = 2….), le nombre d'électrons maximum d'une couche électronique est 2n² selon le principe d'exclusion de Pauli (K : 2 électrons, L, 8 électrons, M, 18 électrons…).

$n$ est la solution de l'équation radiale de l'équation de l'équation de Schrödinger qui peut aussi s'écrire pour l'hydrogène (cf. hyperphysique : séparation de l'équation radiale de l'équation de Schrödinger).

• $\dfrac{1}{R}\dfrac{d}{dr}\left[r^2\dfrac{dR}{dr}\right]+\dfrac{2\mu}{\hbar^2}(Er^2+ke^2r)=\ell(\ell+1)$
• Pour l'atome d'hydrogène, les énergies sont données par :

$En=\dfrac{-me^4}{8\epsilon^2_0h^2}\dfrac{1}{n^2}=\dfrac{-13,6eV}{n^2}$ pour $n=1\;;2\;;3...$.

Pour un atome à $N$ électrons, le problème est plus ardu car le potentiel auquel est soumis un électron dépend de la position des autres électrons : il fut donc traiter tous les électrons du système en définissant un hamiltonien du système $H_0$.

Tableau périodique

Le nombre quantique principal représente aussi la période (ligne de 1 à 7) du tableau périodique des éléments), qui a été éditée avant la théorisation de la mécanique quantique.

1. Dans le cas général (de l'hydrogène - Z = 1 - jusqu' à l'argon - Z = 18 -), la période se définit par le remplissage progressif des couches électroniques jusqu'à atteindre la sous-couche s (nombre quantique secondaire $\ell=0$) de la couche électronique suivante.

2. Cela devient plus compliqué pour Z ≥ 19 dans le contexte de la mécanique classique qui montre les limites du modèle planétaire des couches électroniques.

• Pour le potassium (Z = 19), 2 électrons se placent sur la couche K, 8 sur la L, 8 sur la M (qui pourrait en accueillir 18) et 1 sur la N : cela présume l'existence de sous-couches électroniques.
• Ces couches électroniques ne représentent qu'un seul des quatre paramètres nécessaires pour définir l'état d'un électron, le nombre quantique principal.

Nombre quantique secondaire ou azimutal