Mécanique quantique
Moments angulaires : moment angulaire orbital ($L$)

La notion de moment angulaire regroupe plusieurs opérateurs qui ne doivent pas être confondus en mécanique quantique.

• le moment angulaire orbital " classique " ($L$) ;
• le moment angulaire intrinsèque ou spin ($S$) qui n'a pas d'équivalent en mécanique classique ;
• le moment angulaire total ($J$).

En outre, le moment magnétique est défini comme le vecteur reliant le moment angulaire que subit un objet à l’application d'un champ magnétique externe.

Moment angulaire orbital

En mécanique classique, le moment angulaire - ou cinétique -, $\vec L$, est exprimé en fonction des diverses composantes des vecteurs position et quantité de mouvement $( \vec L=\vec r\times\vec p)$.

• Le moment angulaire (ou cinétique) $L$ d'un point matériel $M$ par rapport à un point $O$ correspond au moment de la quantité de mouvement $\vec p$ par rapport au point $O$, i.e. le produit vectoriel $\vec {OM}\wedge\vec p$ ou $\vec L=\vec r\wedge\vec p$ où $\vec r$ est le vecteur position et $\wedge$ est appelé produit extérieur. Ses unités sont M.L².T^-1.
• Ce qui donne : $\vec L=\vec r\times\vec p=mrv\vec v$.

Ce film de démonstration montre ce qu'est un moment angulaire (nfos).

La mécanique analytique utilise des coordonnées généralisées, en particulier dans la mécanique lagrangienne et surtout, dans la mécanique hamiltonienne dont le rôle est de simplifier les équations.

La direction de la quantité de mouvement permet aussi de définir l'hélicité d'une particule, i.e. projection du spin $\vec S$ d'une particule sur la direction de son mouvement $\vec p$.

Vue d'ensemble

En mécanique quantique, le moment angulaire orbital doit être réinterprété en fonction des opérateurs.

Dans la mécanique quantique, un opérateur décrit une application linéaire d'un espace de Hilbert dans lui-même. Une observable est un opérateur hermitien (cf. table des opérateurs)

1. $r$ est l'opérateur de position, qui représente l'observable position de l'état quantique d'une particule $\hat x\psi(x)=x\psi(x)$.

L'accent circonflexe au-dessus du $x$ à gauche indique un opérateur, de sorte que cette équation peut être lue comme le résultat de l'action de l'opérateur $x$ sur une fonction quelconque $\psi(x)$ égale $x$ multiplié par $\psi(x)$, ou tout simplement, l'opérateur $x$ multiplie une fonction quelconque $\psi(x)$ par x.

2. $p$ est l'opérateur d'impulsion qui agit sur la fonction d'onde $\psi(r,t)$ pour en extraire ses valeurs propres : $\hat p=-i\hbar\nabla$.

3. $L$ devient l'opérateur de mouvement orbital angulaire essentiel en mécanique quantique en particulier dans les symétries de rotation.

$L$ est un opérateur vecteur $ L=(L_x,L_y,L_z)$ dont les trois opérateurs ont des relations de commutation qu'on peut écrire sous la forme :

• $[L_i,L_j]=i\hbar\sum\limits_{n=1}^{3}\epsilon_{ijk}L_k$, $\forall i,j,k\;\in\{x,y,z\}$,
• où $\epsilon_{ijk}$ représente le symbole de Levi-Civita, i.e. indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker et ne prendre que trois valeurs : $-1,\;0,+1$

Des commutations identiques peuvent être effectuées sur :

• l'opérateur cinétique intrinsèque ou spin $ S$ : $[S_i,S_j]=i\hbar\sum\limits_{n=1}^{3}\epsilon_{ijk}S_k$ ;
• l'opérateur moment angulaire total $ J$ : $[J_i,J_j]=i\hbar\sum\limits_{n=1}^{3}\epsilon_{ijk}J_k$.

Conséquences

Ces relations de commutation signifient que $L$, $S$ et $J$ ont une structure mathématique d'algèbre de Lie, et que les $_{ijk}$ de $\epsilon$ sont ses constantes, ce qui implique 2 conséquences majeures.

1. Dans ce cas, la symétrie de groupe moment angulaire orbital $R_{spatial}$ est le groupe de rotation $SO(3)$.

2. En outre, deux observables non commutatives ne peuvent être mesurées en même temps suivant le principe d'incertitude.

• C'est le cas de $L_x$ ou $L_y$ quand on mesure $L_z$ par la relation : $\sigma_{L_x}\sigma_{L_y}\le\hbar/2|\langle L_z\rangle|$.
• La même chose est vraie de $J$ et $S$.

Par contre, il est possible de mesurer (simultanément) :

• $L^2$, lié au nombre quantique secondaire (ou azimutal) $\ell$ par l'équation suivante : $L^2=\hbar^2\ell(\ell+1)$, où $L^2\equiv L^2_x+L^2_y+L^2_z$, $l\in \{0,\;+1,\;+2,\;...\}$ et $\hbar$ est la constante de Planck réduite ;
• $L_z$, lié au nombre quantique tertiaire (ou magnétique) $m_\ell$ par sa projection sur l'axe quantique classique $z$ : $L_z=\hbar m_\ell$ où $m_\ell\in \{-\ell\;,-(\ell-1),…\;,+(\ell-1)\;,+\ell\}$ : on trouve donc $2\ell+1$ valeurs pour $m_\ell$.

Pour une valeur donnée de $\ell$, la représentation matricielle est $(2\ell+1)$. La représentation tridimensionnelle du groupe de rotation $SO(3)$ qui correspond à $\ell=1$ est donnée par les générateurs :

• $L_x = \begin{pmatrix}0&0&\phantom{-}0\\0&0&-1\\0&1&\phantom{-}0\end {pmatrix}\;,\;L_y = \begin{pmatrix}\phantom{-}0&0&1\\\phantom{-}0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}\;,\;L_z = \begin{pmatrix}0&-1&0\\1&\phantom{-}0&0\\0&\phantom{-}0&0\end{pmatrix}$

• 

  L’invariant quadratique (opérateur de Casimir), du nom du physicien néerlandais Hendrik Casimir (1909-2000) est donc : $L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=2\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, si $\ell(\ell+1)=2$.

3. Dans un système polyélectronique, les moments angulaires de chaque électron se combinent.

Soit deux électrons $(1\;,2)$, dont les opérateurs de mouvement sont $l_1$ et $l_2$, la conservation du moment angulaire du système oblige à écrire :

• $|l_1-l_2|\le L\le l_1+l_2$, tel que $|L|^2=L(L+1)$.
• Les deux valeurs qui encadrent $L$ correspondent aux valeurs minimale et maximale de $|L|$ que l'on peut construire sous forme vectorielle.
• Le $L_{max}$ est important pour la spectroscopie et correspond à la valeur maximale de la projection de $\vec L$, soit la valeur maximale de $M_L$, ce qui va définir le terme spectroscopique (cf. exemples).

$L_{max}=M_{Lmax}=l_{1max}+l_{2max}$

• 

  $L$ peut varier entre ses bormes par valeur entière.
• Pour chaque valeur de $L$, $m_\ell$ varie entre $-L$ et $+L$.

Représentation vectorielle

Normalement, les vecteurs des moments angulaires ne peuvent être représentés comme en mécanique classique - principe d'incertitude - (cf. modèle vectoriel de l'atome).

On les représente par un vecteur, partant de l'origine et de longueur constante selon l'axe quantique classique $z$, qui décrivent un cône droit, sans sa base circulaire. On sait que si $L_z$ est connu, $L_x$ et $L_y$ ne le sont pas (cf. plus haut).

• Didactiquement, on représente les nombres quantiques $\ell=2$ et les valeurs de $m_\ell$ correspondantes (-2, -1, 0, +1, +2) par 5 cônes.
• Les vecteurs ont tous comme longueur $|L|=\sqrt L^2=\hbar\sqrt 6$.

Moment angulaire intrinsèque ou spin