Mécanique quantique
Hélicité et chiralité

Lors de l'étude de la parité $\mathcal P$, deux notions ont été abordées :

• l'hélicité,
• la chiralité.

Hélicité d'une particule

• 

  En effet, comme le moment angulaire total $\vec J$ est la somme du moment angulaire orbital $\vec L=\vec r\times\vec p$ et du spin $\vec S$,
• Comme la projection de $\vec L$ est $L=0$, seul le spin y participe.

L'hélicité est conservée, i.e. aucun changement de repère ne peut la modifier : c'est une constante du mouvement.

L'opérateur d'hélicité est : $H=\dfrac{\sigma\cdot p}{|p|}=\pm1$ où $\sigma$ est l'opérateur de spin.

L'hélicité est dite :

• droite ($\nu^D$) si le spin est de même sens que le mouvement, comme un tire-bouchon qui progresse ($H=+1$) ;
• gauche ($\nu^G$) s'il est de sens contraire ($H=-1$).

Soit des neutrinos à l'état libre. L'équation de Dirac, si l'on admet que leur masse est nulle comme dans le modèle standard, se réduit à l'équation de Weyl :

$\sigma^\mu\partial_\mu\psi=0$, où $\sigma$ est le spin et $\psi$ est sa fonction d'onde

Les spineurs de Weyl $\Psi$ se découplent respectivement en $\Psi_L$ et $\Psi_R$ :

$\psi=\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}=\chi e^{\displaystyle-i(k\cdot r-\omega t)}=\chi e^{\displaystyle-i(p\cdot r-Et)/\hbar}$, où $\chi=\begin{pmatrix}\chi_1\\\chi_2\end{pmatrix}$ est un spineur constant.

On trouve $(p^0-\vec\sigma\cdot\hat p)\Psi_R(\vec p)=0$ et $(p^0+\vec\sigma\cdot\hat p)\Psi_L(\vec p)=0$ (cf. fermions de Dirac, Weyl, Majorana).

• Pour un spin de $1/2$, $\vec\sigma\cdot\hat p/2$ est bien la projection du moment angulaire sur la direction de l'impulsion : $\Psi_R(\vec p)$ correspond à l'hélicité $\lambda=+1/2$ - polarisé à droite - et $\Psi_L(\vec p)$ à l'hélicité $\lambda=-1/2$ - polarisé à gauche -.

• 

  Ce sont bien deux particules différentes $(+)$ pour $\nu^D$ et $(-)$ pour $\nu^G$, i.e. aucune transformation de Lorentz peut les relier.

Les neutrinos ont une hélicité gauche et leurs antiparticules une hélicité droite.

• Leur parité est de $\mathcal P=-1$ et $\mathcal P=+1$.
• Dans les quatre solutions de l'équation de Dirac, seules 2 sont admises pour les neutrinos : on parle de théorie des neutrinos à 2 composantes.

On parle aussi d'hélicité magnétique dont la conservation est en voie de confirmation pour les boucles coronales des fluides magnétisés comme dans le soleil.

Chiralité d'une particule

La chiralité d’une particule est déterminée selon que la particule se transforme dans la représentation droite ou gauche du groupe de Poincaré du physicien Jules Henri Poincaré (1854-1912) : cette chiralité ne dépend pas du mouvement de la particule.

• En sciences en général, un objet est dit chiral, si et seulement s'il n’est pas superposable à son image dans un miroir plan (chiralité en chimie).
• En physique, la chiralité est une généralisation aux interactions faibles des particules (de masse non nulle) de l'hélicité des neutrinos : elle caractérise la violation de la parité spatiale dans le lagrangien d'interaction faible.

Démonstration

Si on considère maintenant une particule de masse n'est pas nulle, on retrouve l'équation de Dirac où les spineurs $\chi$ et $\psi$ sont des vecteurs propres de de la matrice $\gamma_5$ avec les valeurs propres de $\pm1$ : ces spineurs ont une chiralité positive ou négative.

L'opérateur de projection des spineurs de Dirac ($\Psi$, vecteur à quatre composantes) qui les détermine est $P_{L,R}=\frac{1}{2}(1\pm\gamma_5)$, à valeurs propres $\pm1$, i.e. les représentations gauche et droite sont données par :

$\Psi_{L,R}=P_{L,R}\,\Psi=\dfrac{1}{2}(1\pm\gamma_5)\,\Psi$

• où $P_{L,R}$ et $\gamma_5$ sont des matrices $4\times4$,
• $\Psi$ le vecteur à 4 composantes.

La masse couple les spineurs de chiralité droite et gauche (cf. fermions de Dirac, Weyl, Majorana) :

$\begin{pmatrix}-m&p^0-\vec\sigma\cdot\hat p\\p^0+\vec\sigma\cdot\hat p&-m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Psi_L(\vec p)\\\Psi_R(\vec p)\end{pmatrix}=0$

Conséquences

1. Pour des particules sans masse (photon, gluons et l'hypothétique graviton), chiralité et hélicité sont identiques, i.e. les directions et du spin et de la quantité de mouvement sont indépendant du repère.

• 

  Une particule sans masse se déplace à la vitesse de la lumière : un observateur réel, qui voyage à une vitesse bien plus faible que celle de la lumière, ne peut se trouver dans un cadre de référence où la particule semble inverser sa direction relative, i.e. ils " voient " la même chiralté.
• De ce fait, la direction de rotation des particules sans masse n'est pas affectée par un boost de Lorentz (changement de point de vue) dans la direction du mouvement de la particule, et le signe de la projection (hélicité) est fixé pour tous les cadres de référence (invariance).

Dans les quatre solutions de l'équation de Dirac, seules 2 sont admises pour les neutrinos : on parle de théorie des neutrinos à 2 composantes.

2. Par contre, pour les particules massives (leptons, quarks), la chiralité et l'hélicité ne sont pas identiques, i.e. il y a quatre solutions de l'équation de Dirac. En changeant de repère, les directions du mouvement de la particule peuvent s'inverser alors que sa chiralité est invariante.

• Dans l'électrodynamique quantique ou la chromodynamique quantique, les fermions gauches et droits sont traités de manière identique : la masse est très faible par rapport à l'énergie et les deux termes sont souvent synonymes.
• Dans le modèle standard, les seuls fermions gauches (et anti-fermions droits) sont soumis à l'interaction faible.

Pour ces particules massives, la chiralité n'est pas une constante de mouvement.

Masse des neutrinos et particule de Majorana

Le problème de la masse des neutrinos est primordiale.

• Si elle n'est pas nulle, le neutrino de Dirac possède les quatre composantes.
• Mais, on pourrait aussi supposer, que même si les masses sont non-nulles, on puisse ne retrouver que deux composantes seulement.

L'hypothèse est celle des particules de Majorana (ou fermions de majorana) du nom d'Ettore Majorana (1906-1938 ?), émise en 1937 (cf. les neutrinos pour les calculs).

Or, d'après les expériences d'oscillations des neutrinos, décrites en 1960 par Bruno Pontecorvo (1913-1993), ceux-ci ont une masse très faible.

1. Le neutrino pourrait en faire partie et serait sa propre antiparticule.

Pour simplifier, la désintégration bêta- (β-), en action dans les étoiles, transforme un neutron en proton et un antineutrino (et un électron) : $n\rightarrow p+e^-+\bar\nu_e$.

• 

  Certains noyaux peuvent, avec une probabilité très faible (1 en 10²⁴ ans), la subir deux fois (double désintégration bêta (β) : ββ2ν) et ainsi produire 2 antineutrinos, ce qui a été démontré par l'expérience NEMO (Neutrino Ettore Majorana Observatory).
• Elle a aussi permis de démontrer que la masse du neutrino était comprise entr 0,5 et 1 eV.

Majorama a émis l'hypothèse qu'aucun antineutrino puisse alors créé car ils s'annihileraient, i.e. le champ $\nu$ est son propre conjugué de charge ($\nu=\bar\nu$).

• Les particules peuvent être massives, et on trouve seulement les deux composantes classiques $\nu^G$ et $\bar\nu^D$.
• En outre, la conservation du nombre leptonique $L$ serait violé.
• C'est ce qu'espère trouver des études en cours de réalisation à l'heure actuelle comme Super Nemo.

Si on combine les termes de masse de Dirac $\mathcal L_{masse}^D$ et de Majorana $\mathcal L_{masse}^M$, on obtient la formule : $m_1=-\dfrac{1}{2}\left(m_L+m_R-\sqrt{(m_L-m_R)^2+4m_D^2}\right)$

• si $m_L=m_R=0$, on retrouve le neutrino de Dirac,
• si $m_D=0$, on retrouve la particule de Majorana.

2. Le mécanisme de seesaw (balancoire ou bascule), qui produit de très petits nombres à partir de nombreux "  normaux ", prédit que la masse des neutrinos est de l'ordre de l'électronVolt, ce qui renvoit à la physique au-delà du modèle standard. En se basant sur deux observations, on peut dire que :

Si $m_R\gg m_L$ et $m_R\gg m_D$, les neutrinos gauches ont une très faible masse et que les droits n'interagissent pas (neutrinos dits stériles).

• Alors on trouve, $m_2=m_R(1+m_D^2/m_R^2)\approx m_R$ et $m_1\approx m_D^2/m_R$,

• 

  d'où : $m_1\times m_2=m_D^2$ qui décrit le mécanisme de la balançoire dans lequel, plus le neutrino est léger, plus le neutrino de Majorana est lourd.

En outre, cette masse du neutrino de Majorama, supérieure à 10¹⁴ Gev :

• se retrouve dans les énergies pour lesquelles les trois forces élémentaires (forte, électromagnétique et faible) seraient unifiées :
• pourrait expliquer la non-conservation du nombre leptonique et du nombre baryonique et de ce fait, l’asymétrie baryonique de l’Univers, i.e. la prédominance de la matière sur l'antimatière,
• imposerait qu'il ne peut y avoir de mélanges de leptons de différentes générations, i.e. saveurs, comme il en existe chez les quarks lors de l'interaction faible.

Le neutralino ($\tilde\chi_i^0$) hypothétique du modèle supersymétrique, utilisé dans la théorie des supercordes, serait une particule de Majorana.

Symétries C, G, CP, T et CPT