Mathématiques : rappels
Ensembles des nombres

Ensembles des nombres

Six ensembles de base permettent de manipuler les nombres, chacun étant un sous-ensemble du suivant.

1. $\mathbb N$, les nombres entiers naturels (positifs ou nul),

2. $\mathbb Z$, les nombres entiers relatifs (comprenant, en plus, les entiers négatifs),

3. $\mathbb D$, l'ensemble des décimaux relatifs (à virgule flottante dont la partie décimale est composée d'une quantité finie de chiffres),

4. $\mathbb Q$, l'ensemble des nombres rationnels (pouvant s'exprimer par un quotient de deux entiers relatifs, le dénominateur n'étant pas nul : le développement d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale),

5. $\mathbb R$, l'ensemble des nombres réels à développement décimal infini et non périodique : il comprend les nombres irrationnels, qui ne peuvent s'écrire sous forme de fraction de deux entiers relatifs, comme $\sqrt2$ (racine carrée de 2), $\pi$ (rapport de la circonférence du cercle à son diamètre), ou $e$ (nombre d'Euler ou constante de Néper).

6. $\mathbb C$, l'ensemble des nombres complexes (cf. plus bas).

On peut écrire : $\mathbb N\subseteq\mathbb Z\subseteq\mathbb D\subseteq\mathbb Q\subseteq\mathbb R\subseteq\mathbb C$.

Nombres complexes

Les nombres complexes forment une extension de l'ensemble des nombres réels qui contient en particulier un nombre imaginaire $ i$ (cf. Nombres : curiosités, théorie et usages).

• Les nombres complexes permettent de relier algèbre et géométrie, en particuliers dans le domaine des rotations et similitudes. Ils ont servi à la résolution des équations du troisième degré.
• Le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.

Formulation algébrique

Le corps $(\mathbb C,+,\cdot)$ satisfait les propriétés suivantes :

• $(\mathbb{R},+,\cdot)$ est un sous-corps de ($\mathbb{C},+,\cdot$).
• $\mathbb{C}$ possède un élément $i$ lel que $i^2 =–1$, $i$ étant l'élément imaginaire (ou $i=\sqrt{-1}$).

• 

  $\forall z \in C$, il peut s'écrire de manière unique $z=a+ib$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.

Si on veut calculer la racine carrée de -9 : $\sqrt{-9}=\sqrt{(-1)\cdot(9)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{9}=i\cdot3=3i$

$ z=a+ib$ est appelé forme algébrique de z dans laquelle :

• $\Re(z):=a$ est la partie réelle de $z$, aussi écrite $Re(z)$.
• $\Im(z):=b$ est la partie imaginaire de $z$, aussi écrite $Im(z)$.

Si $ z$ et $ z'$ sont des nombres complexes :

• $z=z'$ si, et seulement si, $\left\{\begin{array}{11}\Re(z)=\Re(z')\\\Im(z)=\Im(z')\end{array}\right.$.
• $z$ est un nombre réel si, et seulement si, $\Im (z)=0$.
• $z$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $\Re(z)=0$.

Si on prend un nombre réel et on réalise une rotation de 90°, on retrouve un nombre imaginaire pur. Si on tourne encore de 90°, on retrouve un réel. $i^2 =–1$ correspond à une rotation de 180°. Par contre, multiplier un nombre complexe par i lui fait effectuer une rotation antihoraire de 90*.

Formulation géométrique

Les nombres complexes peuvent s'écrire sous forme géométrique en définissant un plan complexe $\mathscr{P}$ à plan orthogonal $(O,\vec u, \vec v)$.

À tout complexe algébrique $z=a+ib$, on associe le point $M$ de coordonnées $(a,b)$.

• $z$, le nombre complexe, est dit affixe du point M ;
• $M$ le point image de $z$, noté $M(z)$ ou $M(a+i b)$.

Ceci définit une application $\Theta$, bijection de $\mathbb{C}$ sur $\mathscr{P}$ : $\Theta:\left\{\begin{array}{11}\mathbb{C}&\rightarrow&\mathscr{P}\\z=a+ib&\mapsto&M(z)\end{array}\right.$

• L'image vectorielle de $z$ est le vecteur $\vec w=\vec{OM}$, appelé vecteur image et $z$ est l'affixe de $\vec w$.
• Comme conséquence $(O,\vec u)$ est appelé axe des réels $(b=0)$, et $(O,\vec v)$ est appelé axe des imaginaires $(a=0)$. L'ensemble des imaginaires purs est appelé $i\mathbb{R}$.

Le module de $ z$, $ |z|$ est la distance $OM$, i.e. un réel positif : la norme du vecteur $\vec{OM}$ noté ${\parallel OM\parallel}$ : $\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$

• Le module du nombre complexe généralise à l'ensemble $\mathbb C$ la notion de valeur absolue définie sur $\mathbb R$.
• Une norme est une fonction qui assigne une longueur ou une taille strictement positive à tout vecteur d'un espace vectoriel (excepté pour le vecteur nul de longueur zéro) : c'est donc une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs.

Le conjugué de $ z=a+ib$ (point image $M$) est le complexe $\bar z=a-ib$, aussi noté $z^{*}$ (point image $M'$) : $M'$ est symétrique à $M$ par rapport à l'axe des réels.

Les nombres complexes peuvent s'écrire sous forme polaire : on définit la distance du point $M$ par rapport à l'origine $O$, de coordonnées $0,0$ et l'angle $\varPhi$ entre l'axe des réels et le segment de droite $OM$, dans le sens anti-horaire.

• Ce nombre s'écrit : $z=r\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)$ avec $r\gt0$.
• $r$ est le module du complexe $z$, tel que $r=\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$.
• $\varphi$ est l'argument de z et noté $arg(z)$ : $\varphi=arccos\dfrac{a}{r}=arcsin\dfrac{b}{r}$.

$z$ peut être aussi écrit $z=re^{i\varphi}$, forme exponentielle utilisant la formule d'Euler (avec l'identité $e^{i\pi}+1=0$).

Sous forme polaire, multiplier deux nombres complexes, c'est multiplier leurs modules (longueurs) et ajouter les arguments (angles), les diviser, c'est diviser leur modules et soustraire leurs arguments.

Structures algébriques