3. $\mathbb D$, l'ensemble des décimaux relatifs (à virgule flottante dont la partie décimale est composée d'une quantité finie de chiffres),
4. $\mathbb Q$, l'ensemble des nombres rationnels (pouvant s'exprimer par un quotient de deux entiers relatifs, le dénominateur n'étant pas nul : le développement d'un nombre rationnel est toujours périodique au bout d'une certaine décimale),
Les nombres complexes permettent de relier algèbre et géométrie, en particuliers dans le domaine des rotations et similitudes. Ils ont servi à la résolution des équations du troisième degré.
Le plan complexe (aussi appelé plan d'Argand, plan d'Argand-Cauchy ou plan d'Argand-Gauss) désigne un plan, muni d'un repère orthonormé, dont chaque point est la représentation graphique d'un nombre complexe unique.
Formulation algébrique
Le corps $(\mathbb C,+,\cdot)$ satisfait les propriétés suivantes :
$(\mathbb{R},+,\cdot)$ est un sous-corps de ($\mathbb{C},+,\cdot$).
$\mathbb{C}$ possède un élément $i$ lel que $i^2 =–1$, $i$ étant l'élément imaginaire (ou $i=\sqrt{-1}$).
Nombre complexe
(Figure : vetopsy.fr)
$\forall z \in C$, il peut s'écrire de manière unique $z=a+ib$ avec $(a,b)\in\mathbb{R}^2$.
Si on veut calculer la racine carrée de -9 : $\sqrt{-9}=\sqrt{(-1)\cdot(9)}=\sqrt{-1}\cdot\sqrt{9}=i\cdot3=3i$
$ z=a+ib$ est appelé forme algébrique de z dans laquelle :
$\Re(z):=a$ est la partie réelle de $z$, aussi écrite $Re(z)$.
$\Im(z):=b$ est la partie imaginaire de $z$, aussi écrite $Im(z)$.
Si $ z$ et $ z'$ sont des nombres complexes :
$z=z'$ si, et seulement si, $\left\{\begin{array}{11}\Re(z)=\Re(z')\\\Im(z)=\Im(z')\end{array}\right.$.
$z$ est un nombre réel si, et seulement si, $\Im (z)=0$.
$z$ est un imaginaire pur si, et seulement si, $\Re(z)=0$.
Si on prend un nombre réel et on réalise une rotation de 90°, on retrouve un nombre imaginaire pur. Si on tourne encore de 90°, on retrouve un réel. $i^2 =–1$ correspond à une rotation de 180°. Par contre, multiplier un nombre complexe par i lui fait effectuer une rotation antihoraire de 90*.
Formulation géométrique
Les nombres complexes peuvent s'écrire sous forme géométrique en définissant un plan complexe $\mathscr{P}$ à plan orthogonal $(O,\vec u, \vec v)$.
À tout complexe algébrique $z=a+ib$, on associe le point $M$ de coordonnées $(a,b)$.
$z$, le nombre complexe, est dit affixe du point M ;
$M$ le point image de $z$, noté $M(z)$ ou $M(a+i b)$.
Ceci définit une application $\Theta$, bijection de $\mathbb{C}$ sur $\mathscr{P}$ : $\Theta:\left\{\begin{array}{11}\mathbb{C}&\rightarrow&\mathscr{P}\\z=a+ib&\mapsto&M(z)\end{array}\right.$
L'image vectorielle de $z$ est le vecteur $\vec w=\vec{OM}$, appelé vecteur image et $z$ est l'affixe de $\vec w$.
Comme conséquence $(O,\vec u)$ est appelé axe des réels $(b=0)$, et $(O,\vec v)$ est appelé axe des imaginaires $(a=0)$. L'ensemble des imaginaires purs est appelé $i\mathbb{R}$.
Le module de $ z$, $ |z|$ est la distance $OM$, i.e. un réel positif : la norme du vecteur $\vec{OM}$ noté ${\parallel OM\parallel}$ : $\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$
Le module du nombre complexe généralise à l'ensemble $\mathbb C$ la notion de valeur absolue définie sur $\mathbb R$.
Une norme est une fonction qui assigne une longueur ou une taille strictement positive à tout vecteur d'un espace vectoriel (excepté pour le vecteur nul de longueur zéro) : c'est donc une extension de la valeur absolue des nombres aux vecteurs.
Nombre complexe et son conjugué
(Figure : vetopsy.fr)
Le conjugué de $ z=a+ib$ (point image $M$) est le complexe $\bar z=a-ib$, aussi noté $z^{*}$ (point image $M'$) : $M'$ est symétrique à $M$ par rapport à l'axe des réels.
Les nombres complexes peuvent s'écrire sous forme polaire : on définit la distance du point $M$ par rapport à l'origine $O$, de coordonnées $0,0$ et l'angle $\varPhi$ entre l'axe des réels et le segment de droite $OM$, dans le sens anti-horaire.
Ce nombre s'écrit : $z=r\cos(\varphi)+i\sin(\varphi)$ avec $r\gt0$.
$r$ est le module du complexe $z$, tel que $r=\vert z\vert=\sqrt{a^2+b^2}$.
$\varphi$ est l'argument de z et noté $arg(z)$ : $\varphi=arccos\dfrac{a}{r}=arcsin\dfrac{b}{r}$.
Sous forme polaire, multiplier deux nombres complexes, c'est multiplier leurs modules (longueurs) et ajouter les arguments (angles), les diviser, c'est diviser leur modules et soustraire leurs arguments.