Leur spin est de $1/2$ et leur masse est proche (différence de 1%).
Or, l'interaction forte entre 2 protons (ou 2 neutrons) est identique à celle d'un neutron et d'un proton, et donc indépendant de la charge électrique.
Le concept d'isospin ($I$ ou $T$) a été introduit bien avant la découverte des quarks en 1960, modèle qui permet maintenant de comprendre cette notion de symétrie de l'interaction forte.
L'isospin est utile pour analyser les interactions mésons/nucléons après la découverte des pions, $\pi^+$, $\pi^0$ et $\pi^-$, particules les plus légères d'isospin $+1$, $0$ et $-1$ de la famille des mésons.
L'isospin a été confirmé par la découverte des multiplets d'isospin, i.e. famille de hadrons qui possède à peu près la même masse (kaons, baryons Delta, Sigma…).
$[l_i,l_j]=i\hbar\sum\limits_{n=1}^{3}\epsilon_{ijk}l_k$, $\forall i,j,k\;\in\{x,y,z\}$, où $\epsilon_{ijk}$ représente le symbole de Levi-Civita, i.e. indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker et ne prendre que trois valeurs : $-1,\;0,+1$
On retrouve donc plusieurs états propres $|I,I_3\rangle$ avec pour observables $I^2$, relié au nombre quantique d'isospin $I$ et $l_3$, valeur propre de $l_z$, projection sur $l_z$.
Les valeurs propres $I_3$ sont au nombre de $2I+1$ pour un $I$ donné : $I_3\in \{-I,\;-I+1,\;…,\;I-1,\;I\}$ formant des multiplets d'isospin.
On en déduit que l'état de charge à l'intérieur d'un multiplet d'isospin est déterminé par le seul nombre quantique $I_3$, i.e. qu'il existe une seule matrice diagonalisable faisant partie du groupe spécial unitaire des matrices $2\times2$ : $SU(2)$ (cf. plus bas).
On se sert des matrices de Pauli qui agissent dans l'espace de Hilbert des isospins, et pas dans celui des spins, d'où le terme $\tau$ plutôt que $\sigma$.
Soit, par exemple, les quatre baryons $\Delta$ qui contiennent chacun un triplet de quarks up/down, comme les nucléons : ils possèdent à peu près la même masse et leur spin est de $ S=3/2$.
Comme leur composition en quarks up - $q=+2/3$ - et down - $q=-1/3$ - est différente, leur charge électrique varie. On peut alors considérer que c'est la même particule, mais avec des charges différentes - $\Delta^{++}$ (uuu), $\Delta^+$ (uud), $\Delta^0$ (udd) et $\Delta^-$ (ddd) -.
Comme il y a quatre $\Delta$, il faut quatre projections différentes.
On attribue à chaque chaque $\Delta$ un isospin " total " $I=3/2$, mais avec des projections $I_3$ incrémentées de $1$, soit 4 projections : $l_3=3/2,1/2,-1/2,-3/2$. Le quadruplet du $\Delta$ possède donc comme états propres :
Cela veut dire que les quatre $\Delta$ et les deux nucléons peuvent être considérés comme les différents états d'une même particule : les $\Delta$ peuvent être vus comme des états excités des nucléons.
Valeurs de l'isospin
Dans le modèle des quarks, la relation qui unit la projection des isospins est :
$I=1$ pour les baryons $\Sigma$ ou des mésons comme les pions… ;
$I=1/2$ pour les nucléons, $I_3=-1/2$ pour le neutron et $I_3=+1/2$ pour le proton mais aussi pour d'autres baryons ($\Xi$) ou des mésons (K, D…) ;
$I=0$ pour les baryons $\Lambda$… ou les mésons $\eta$…
Soit un noyau avec $ N$ nucléons, $ 0\le I\le N$ par combinaison de l'isospin de chaque nucléon (même calcul que le spin).
Chaque $I$ donnera une projection $I_3$ telle que $-I\le I_3\le+I$, d'où $2I +1$ valeurs possibles : on se retrouve avec des états singulets, des états triplets, bref des multiplets isospin.
$I_3$ est une constante telle que $I_3=(Z-N)/2$ et plusieurs isospins pourront correspondre à cette valeur $I_3$, i.e. différents éléments chimiques : c'est l'origine du terme spin isobarique appliqué à l'isospin. Ces différents niveaux seront appelés états isobariques analogues.
En outre, les niveaux d'isospin $I$ ont tous la même énergie, quel que soit $I_3$, i.e. ils sont dégénérés : on trouve aussi un état fondamental du noyau d'isospin $I=I_3$.
Par contre, la conservation de $Q$ est globale - symétrie $U(1)$ -, alors que celle de l'isospin $I$ ne l'est que dans les interactions fortes (cf. plus haut).
La relation est : $Q=I_3+\dfrac{Y}{2}$, selon la formule de Gell-Mann–Nishijima généralisée, et comme, dans un multiplet d'isospin, $\sum I_3=0$, alors, $Y=2Q$.
$Q$ est la charge moyenne des particules qui forment le multiplet, notée aussi $\bar Q$.
Comme $[I_3,H_{elec.magn.}]=0$ et $[Q,H_{elec.magn.}]=0$, alors $[Y,H_{elec.magn.}]=0$
Symétrie d'isospin
Le nombre d'isospin est relié au groupe de symétrie " approximative " de rotation $SU(2)$ de l'hamiltonien des interactions fortes : les différentes particules qui subissent ces interactions sont des représentations de $SU(2)$ - Representation Theory of SU (2) and SU (3) -.
On se sert des matrices de Pauli qui agissent dans l'espace de Hilbert des isospins, et pas dans celui des spins, d'où le terme $\tau$ plutôt que $\sigma$.
On la multiplie par $1/2$ : $I_3=\frac{1}{2}\tau_3$ où, $\tau_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
Soit un système de deux particules, une à $I=1$, un pion par exemple, et une à $I=1/2$, un nucléon par exemple, on trouve : $1\otimes1/2=1/2\oplus3/2$. on dit que :
le produit de la représentation $SU(2)$ correspondant à l'isospin $1$ et à $1/2$ est la somme des représentations correspondant aux isospins $1/2$ et $3/2$,
ou la combinaison d'isospin $1$ et $1/2$ se comporte soit comme un isospin $1/2$, soit $3/2$ dans les rotations de l'espace des isospins.
En généralisant aux $2I+1$ valeurs possibles de $I$, on peut écrire : $ 3\otimes2=2\oplus4$.
Mais cette symétrie d'isospin est un sous-ensemble de la symétrie de rotation de saveur observée $SU(3)$ dans les interactions des baryons et des mésons.
L'étude de cette symétrie a conduit à la découverte et la compréhension des quarks et du développement de la théorie de Yang-Mills.
