• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Groupes de symétrie du modèle standard

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

Dans le modèle standard des particules, les symétries sont reliées à des structures algébriques appelés groupes.

Fonction d'onde 5d de l'hydrogène
Fonction d'onde 5d de l'hydrogène
(Figure : vetopsy.fr d'après Geek3)

Symétries exactes

U(1)

$U(1)$ est le groupe de jauge de l’électromagnétisme, théorie de jauge la plus simple constituée par l'électrodynamique classique de Maxwell.

Le groupe $U(1)$ correspond au cercle unité ($T$), composé de tous les nombres complexes ayant comme valeur absolue (ou module) 1 pour la multiplication : $\mathbb T=\{z\in\mathbb C:|z|=1\}$.

La charge électrique $Q$ est conservée, i.e. c'est un nombre quantique conservé de manière additive, i.e. il y a une invariance par transformation de jauge de l'hamiltonien $H$ :

bien

$Q$ est le seul nombre quantique qui correspond au groupe $U(1) global et local.

SU(3)

$SU(3)$ est le groupe associé à l'interaction forte et à la chromodynamique quantique, théorie de jauge des groupes de matrices de Gell-Mann $3\times3$.

Dans, l'algèbre de Lie, il existe des connections entre $SU(2)$ et $SO(3)$, le groupe de rotation en trois dimensions.

Le lagrangien est $\mathcal L_{QCD}=-\dfrac{1}{4}G^a_{\mu\nu}G_a^{\mu\nu}+i\sum\limits_f\bar q^i_f\gamma^\mu(D_\mu)_{ij}q_f^j-\sum\limits_fm_f\bar q^i_fq_{fi}$ où :

Les interactions fortes sont exactement symétriques : on parle de symétrie de couleur.

  • Seuls les hadrons sont sensibles à ces interactions entres quarks et gluons, tous deux associés à ce groupe de jauge.
  • Le confinement de couleur (ou simplement confinement ou confinement des quarks et des gluons) est une propriété de ces particules élémentaires qui ne peuvent être isolées et sont observées uniquement avec d'autres particules de telle sorte que la combinaison formée soit blanche, c’est-à-dire que sa charge de couleur totale soit nulle. C'est cette propriété qui est à l'origine de l'existence des hadrons.

La généralisation des coefficients de Clebsch-Gordan à $SU(3)$ est utile pour caractériser les désintégrations hadroniques dans la voie octuple qui relie les trois quarks up, down et étrange.

Le groupe $SO(10)$ (cf. unification des forces) est associé à la théorie de grande unification (GUT).

Symétries pouvant être brisées

SU(2)

$SU(2)$ est à la base d'une symétrie " approximative " des trois générations de quarks et de leptons, mais n'est pas un groupe de jauge (théorie des représentations de $SU(2)$)

Cette symétrie est basée sur les matrices de Pauli qui forment, au facteur $i$ près, une base de l'algèbre de Lie du groupe $SU(2)$.

SU(2) x U(1)

$SU(2)$$\;\otimes\;$$U(1)$ est à la base d'une théorie de jauge qui unifie les interactions faibles et électromagnétiques dans l'interaction électrofaible (cf. Le groupe $SU(2)\otimes U(1)$ et la théorie électrofaible).

SU(3) x SU(2) x U(1)

bien

Le modèle standard de la physique des particules est une théorie quantique des champs de jauge contenant les symétries internes du groupe de produits unitaire $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$, considérée comme contenir l'ensemble des particules (quarks, leptons, bosons de jauge et boson de Higgs).

Ce modèle est décrit par les théories de Yang-Mills, après quantification et font appel à la géométrie différentielle et aux espaces fibrés.

  • L'invariance locale signifie alors que les équations de Yang-Mills seront inchangées sous l'action de transformations de $G$ sur les champs physiques en chaque point de l'espace-temps.
  • Murray Gell-Mann, a prédit l’existence des quarks grâce à la structure des représentations de SU(3).
Modèle standard des particules et symétries
Modèle standard des particules et symétries
(Figure : vetopsy.fr d'après Latham Boyle)

Remarque : on décrit aussi une supersymétrie où chaque particule a un double supersymétrique (super-partenaires: fermion/boson et boson/fermion dont le spin diffère de 1/2), qui est loin d'être confirmée à l'heure actuelle.

Parité : symétrie P

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible