Mécanique quantique
Groupes de symétrie : vue d'ensemble

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

Dans le modèle standard des particules, les symétries sont reliées à des structures algébriques appelés groupes, et en particulier les groupes de Lie.

Groupe spécial unitaire SU(n)

Sophus Lie
Sophus Lie (1842-1899)

Le groupe spécial unitaire $SU(n)$ de degré $n$ est un groupe de Lie de matrices unitaires $n\times n$ de déterminant 1 $(det(I)=1)$.

L'algèbre de Lie, du nom de Sophus Lie (1842-1899), correspondant aux groupes de Lie $G$, est notée $\mathfrak g$. Ces espaces vectoriels sont dotés d'une loi de composition interne bilinéaire, antisymétrique et qui vérifie la relation de Jacobi.

La description du groupe spécial unitaire $SU(n)$ montre que l'espace vectoriel est muni de l'algèbre $\mathfrak su(n)$.

Il s’agit de l’algèbre des matrices complexes $n\times n$ antihermitiennes : $A^\dagger=-A$, i.e., le conjugué transposé est égale à son opposé.

La multiplication matricielle définit le produit $[x,y]$ appelé " crochet de Lie ".

  • $[x,y]=xy-yx$ définit le commutateur d'où on déduit que :
  • Hermann Weyl
    Hermann Weyl (1885-1955)
    $[x,x]=0$ et $[y,x]=-[x,y]$.

En physique des particules, on multiplie le commutateur par -i.

La relation (ou identité) de Jacobi, du mathématicien allemand Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851), est exprimée par :

  • $[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$.
  • C'est la condition nécessaire pour qu'un espace vectoriel $V$, muni d'une application bilinéaire antisymétrique $\left[\cdot,\cdot\right]$ soit un crochet de Lie, i.e $\forall x,y\in V$, alors $[x,y]\in V$.

Les matrices sont de trace nulle - $tr(A)=0$ - et de déterminant 1 - $det(A)=1$ -.

$\mathfrak su(n)$ a une dimension (ou variété) de $n^2-1$.

Groupes de jauge

En théorie quantique des champs, les groupes de jauge $(G)$ sont des groupes de symétrie locale dont les éléments ne changent pas la valeur du lagrangien du système étudié lorsqu'ils s'appliquent au champ qui figure dans le lagrangien : on parle d'invariance de jauge (Hermann Weyl - 1918 -).

Cette notion est à la base de la théorie de jauge et à la transformation de jauge qui est la transformation unitaire :

  • $\psi\rightarrow\psi'=e^{-ie\alpha}\psi$
  • où $e$ est un paramètre constant et $\alpha(x)$ une fonction arbitraire.
    • Symétrie de jauge locale
      Couleurs des quarks et symétrie de jauge locale
      (Figure : vetopsy.fr d'après fabien.besnard.pagesperso-orange.fr)
      Si $\alpha(x)$ est une constante indépendante de la position, la transformation de jauge est dite globale.
    • Si $\alpha(x)$ est une fonction scalaire dépendante de la position, la transformation de jauge est dite locale.

L’invariance d’un système par rapport à une transformation de jauge locale est essentielle pour la description du modèle standard de la physique des particules. Les groupes agissant dans cette théorie sont (théorie de jauge. Modèle standard) :

Symétries exactes et approximatives

MathématiquesMécanique quantiqueDualité onde-corpuscule
Relativité avant EinteinRelativité restreinteChamps en physique
Mécanique newtonienneMécanique analytiqueMoments en mécanique quantique
Moments angulairesMoments magnétiquesNombres quantiques
Postulats de la mécanique quantiquePrincipe d'incertitudeObservables
État quantiqueFonction d'ondeÉquation de SchrödingerOrbitales
Équation de DiracSpin-orbitalesCouplage spin-orbiteConfiguration électronique
SymétriesGroupes de symétrieParité ou symétrie $\mathcal P$
Hélicité et chiralitéSymétries $\mathcal C$, $\mathcal C\mathcal P$, $\mathcal C\mathcal P$, $\mathcal T$, $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$Modèle standard des particules

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible