• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Postulats

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

attention

Cette page rappelle très succinctement les postulats de la mécanique quantique pour pouvoir se faire une idée du modèle standard des particules élémentaires.

Elle reprend les notions de la page Wikipedia en français : vous trouverez les liens sur le site pour expliciter les concepts.

Dans la mécanique quantique, qui est non-déterministe, l'état du système permet seulement de prévoir, de façon toutefois parfaitement reproductible, les probabilités respectives des différents résultats (cf. principe d'incertitude).

étonnement

La vision de la mécanique quantique nous pose de nombreux problèmes qui dépassent largement notre expérience de la réalité (cf. interprétations et chat de Schrödinger).

États quantiques
États quantiques
(Figure : vetopsy.fr d'après Perrin)

L'abord du sujet est complexe (c'est le cas de le dire) et les rappels seront sommaires pour les initiés.

On peut formuler mathématiquement la mécanique quantique en 6 postulats.

Les trois axiomes de la mécanique quantique est une théorie concurrente.

Postulat I : principe de superposition

Un état quantique peut être représenté, à chaque instant t, par un vecteur dans un espace de Hilbert $\mathcal H$.

  • Il est habituellement noté sous la forme d'un ket $|\psi (t)\rangle$.
  • Si on veut être précis, ce sont des vecteurs normalisés à une phase près $\big(|\psi\rangle\sim|\psi\rangle e^{i\alpha}\big)$.

La superposition des états en est la conséquence directe :

  • le spin, par exemple, est calculé (en notation bra-ket) par : $\vert\psi\rangle=\dfrac {1}{\sqrt 2}\bigg(\vert\uparrow\downarrow\rangle-|\downarrow\uparrow\rangle\bigg)$ qui implique la superposition des états de spin communs pour deux particules de spin 1/2 (fermions)
  • Dans les espaces hilbertiens, toute combinaison linéaire fait partie de l'espace des états : si $|\psi _1\rangle$ et $|\psi _2\rangle$ décrivent deux états du système et si $\lambda$ est un complexe, alors la combinaison linéaire $\lambda|\psi_1\rangle+|\psi _2\rangle$ décrit un état du système.

Postulat II : principe de correspondance 
 ou description quantique d'une grandeur physique

À toute propriété observable, appelé observable tout court, $A$, (position, quantité de mouvement, spin, impulsion/énergie…), correspond un opérateur hermitien dit linéaire, $\hat A$, agissant sur les vecteurs d'un espace de Hilbert $\mathcal H$.

Vecteurs dans l'espace de Hilbert
Vecteurs dans l'espace de Hilbert
(Figure : physicsandchemistryrevision.tumblr.com)

Les observables $A$ sont des opérateurs auto-adjoints sur $\mathcal H$, $A=A^\dagger$. Les quantités observables sont les $\langle\psi|A|\phi\rangle$.

Ces observables sont :

Postulat III : principe de quantification ou valeurs possibles d'une observable

Transvection
Transvection où le vecteur bleu est un vecteur propre :
il ne change pas la direction. La valeur propre est 1.
(Figure : vetopsy.fr d'après TreyGreer62)

La mesure de l'observable $A$ ne peut fournir que l'une des valeurs propres de $A$ : ces valeurs propres sont réelles.

  • Les valeurs propres sont les valeurs pouvant résulter d'une mesure idéale de cette observable.
  • Les vecteurs propres étant l'état quantique du système immédiatement après la mesure et résultant de cette mesure (cf. postulat V).

$\hat A|\alpha _n\rangle=a_n|\alpha_n\rangle$ où $\hat A$ est l'observable, $|\alpha_n\rangle$, le vecteur propre et $\alpha_n$ la valeur propre correspondante.$\ell $

Les états propres de tout observable $\hat A$ sont complets et forment une base de Hilbert (orthonormée) dans l'espace de Hilbert : tout vecteur $|\psi (t)\rangle$ peut se décomposer de manière unique sur la base de ces vecteurs propres $|\phi_i\rangle$, tel que :

$|\phi\rangle=c_1|\phi_1+c_2|\phi_2+...+c_n|\phi_n+...$

Postulat IV : décomposition spectrale ou 
 interprétation probabiliste de la fonction d'onde

Micro-états de l'hélium excité 1s12s1
Micro-états de l'hélium excité 1s12s1
(Figure : vetopsy.fr)

La mesure d'une grandeur physique représentée par l'observable $A$, effectuée sur l'état quantique normalisé $|\psi (t)\rangle$, donne comme résultat la valeur propre $a_n$, avec la probabilité $P(a_n).

1. Cas d'un spectre discret non dégénéré : $P(a_n)=|\langle u_n|\psi\rangle|^2$, où $|u_n\rangle $ est le vecteur propre normé de $A$ associé à la valeur propre $a_n$.

2. Cas d'un spectre discret dégénéré : $P(a_n)=\sum\limits_{i}|\langle u_n^i|\psi\rangle|^2$, où $i= 1,2... g_n$ ($g_n$ étant le degré de dégénérescence de $a_n$) et $|u^i_n\rangle$ un système orthonormé de vecteurs formant une base dans le sous-espace propre $E_n$ associé à la valeur propre $a_n$ de l'observable $A$.

Dans le cas d'un spectre continu et non-dégénéré, la probablité $dP(a)$ pour obtenir un résultat entre $a$ et $a+da$ est : $dP(a)=|\langle\nu_a|\psi\rangle|^2da$, où $|\nu_a\rangle$ est le vecteur propre associé à la valeur propre $a$ de l'observble $A$.

Postulat V : réduction du paquet d'onde

Chat de Schrödinger
Chat de Schrödinger
(Figure : vetopsy.fr d'après Dhatfield)

La réduction du paquet d'onde est un concept de la mécanique quantique selon lequel, après une mesure, un système physique voit son état entièrement réduit à celui qui a été mesuré (cf. principe d'incertitude).

Si la mesure de la grandeur physique $A$, à l'instant $t$, sur un système représenté par le vecteur $|\psi (t)\rangle$ donne comme résultat la valeur propre $a_n$, alors l'état du système immédiatement après la mesure est projeté sur le sous-espace propre associé à $a_n$ :

$$|\psi (t)\rangle=\dfrac{\hat P_n|\psi\rangle}{\sqrt {P(a_n)}}$$

où $P(a_n)$ est la probabilité de trouver comme résultat la valeur propre $a_n$ et $\hat P_n$ est l'opérateur projecteur défini par : $\hat P_n=\sum\limits_{k=1}^{g_n}|u_{n,k}\rangle\langle u_{n,k}|$ avec $g_n$, le degré de dégénérescence de la valeur propre $a_n$ et les $|u_{n,k}\rangle$ les vecteurs de son sous-espace propre.

Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique

L'état $|\Psi,t\rangle$ de tout système quantique non-relativiste est une solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps qui est la généralisation de l'équation de l'énergie totale de Louis de Broglie : $E_{totale}=\dfrac{p^2}{2m}+V(t)$.

Schrödinger et Dirac
Erwin Schrödinger (1887-1961) et Paul Dirac (1902-1984)

$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}|\Psi(t)\rangle=\hat H|\Psi(t)\rangle$$

bien

L'équation de Schrödinger est l'équation dynamique de la mécanique quantique.

La généralisation de l'équation de Schrödinger au domaine relativiste aboutira à l'équation de Dirac qui établit l'existence du spin et des antiparticules.

Principe d'incertitude

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible