• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Principe d'incertitude

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

Dans la mécanique classique newtonienne, le vecteur position et la quantité de mouvement décrivent complètement l'état d'un point matériel ($\vec r_M,\vec p_M$).

En d'autres termes, l'état du système, qui décrit tous les aspects de ce système - système dans le sens de partie de l'univers physique choisi pour l'analyse -, permet de déterminer exactement le résultat de mesures qu'on peut y réaliser. Cet état est représenté par un ensemble de grandeurs physiques.

Werner Heisenberg
Werner Heisenberg (1901-1976)

Dans la mécanique quantique, qui est non-déterministe, l'état du système permet seulement de prévoir, de façon toutefois parfaitement reproductible, les probabilités respectives des différents résultats qui peuvent être obtenus à la suite de la réduction du paquet d'onde lors de la mesure.

Relations d'Heisenberg

Les relations d'Heisenberg (1927) ou principe d'incertitude, du nom de Werner Heisenberg (1901-1976), montrent qu'il existe une limite fondamentale à la précision avec laquelle il est possible de connaître simultanément deux propriétés physiques d'une même particule, par exemple sa position et sa quantité de mouvement (cf. inégalités d'Heisenberg).

Si on reprend la dualité onde/particule, le vecteur d'onde est lié à la quantité de mouvement de la particule. Le vecteur d'onde est un vecteur perpendiculaire au front d'onde d'une onde monochromatique.

Dans la relativité restreinte, on définit ce vecteur comme un quadrivecteur ou vecteur de l'espace de Minkowski, espace à quatre dimensions modélisant l'espace-temps.

Si on veut définir la localisation d'une onde, il faut une infinité de mesures et comme chacune possède une certaine quantité de mouvement, cette dernière est donc infinie. De même, si on veut calculer la quantité de mouvement, la position de la particule est indéfinie : on ne peut pas faire les deux.

Ce principe d'incertitude a été formulé en 1927 par Werner Heisenberg.

Principe d'incertitude
Position et quantité de mouvement
(Figure : vetopsy.fr d'après Korrigan)

L'inégalité formelle reliant l'écart type de la position $\sigma_x$ et l'écart type de la quantité de mouvement $\sigma_p$ est due à Earle Hesse Kennard (1885-1968) et à Hermann Weyl (1885-1955), ce dernier étant à l'origine de l'invariance de jauge :

$$\sigma_x\sigma_p\ge\dfrac{\hbar}{2}\qquad ou\qquad\sigma_x\sigma_p\ge\dfrac{\hbar}{2m}$$

  • $\hbar$ est la constante de Plank réduite et $m$ la masse de la particule.
  • Comme la masse d'une particule est très faible, on constate que $\sigma_x\sigma_p$ est très élevé, mais est négligeable pour un objet macroscopique, ce qui permet de retomber sur nos pieds en mécanique classique.
  • Ces variables sont dites conjuguées ou complémentaires, comme l'énergie et le temps par ailleurs ($\Delta E\cdot\Delta t\ge\dfrac{\hbar}{2}$.

Interprétations

Vue d'ensemble

En mécanique quantique, seule la distribution statistique de la position ou la quantité de mouvement est parfaitement déterminée à tout instant.

>Werner Heisenberg et Niels Bohr
Werner Heisenberg (1901-1976) et Niels Bohr (1885-1962)

Un objet quantique pourrait donc être " à plusieurs endroits en même temps " (superposition des états : premier postulat de la mécanique quantique) ? Cela pose le problème de la réalité de ces phénomènes, en d'autres termes, existent-ils effectivement ?

On peut aussi démontrer le principe d'incertitude avec la fonction d'onde.

attention

De nombreuses interprétations de la mécanique quantique sont possibles car les conséquences observables font défaut (cf. le problème de la mesure quantique) : aucune solution n'est unanimement reconnue.

Certains pensent que la théorie quantique représente :

Ces approches sont dites réalistes.

  • pas du tout la réalité : cette approche est positiviste, comme celle de l'école de Copenhague qui pense que la mécanique quantique n'est qu'une description de tout ce que nous pouvons connaître de la réalité, mais ne décrit pas la réalité en elle-même.

« Je ne demande pas qu'une théorie corresponde à la réalité, car je ne sais pas ce qu'est la réalité. Ce n'est pas quelque chose que l'on peut tester avec du papier pH. Tout ce qui m'importe est que la théorie prévoie correctement le résultat d'une expérience. » Stephen Hawking

La notion de réduction de paquet d'onde induit que la mesure perturbe le système, et provoque une décohérence quantique (camerasuperposition d'états et décohérence).

Werner Heisenberg et Albert Einstein
Werner Heisenberg (1901-1976) et
Albert Einstein (1879-1955)

« Il est très important de se rendre compte que notre objet a forcément été en contact avec les autres parties du monde, à savoir les conditions expérimentales, l'appareil de mesure, etc., avant l'observation et, au minimum, pendant l'observation. Cela signifie que l'équation du mouvement pour la fonction de probabilité contient maintenant l'influence de l'interaction avec le dispositif de mesure [... qui] est en relation avec le reste du monde, il contient en fait les incertitudes sur la structure du monde entier. [...] Par conséquent, la transition du « possible » au « réel » lors de la [réduction du paquet d'onde] a lieu pendant l'acte d'observer. » Werner Heisenberg

Cette théorie, bien qu'elle soit qu'un modèle, permet d'expliquer l'expérience de pensée du chat de Schrödinger et la problématique de la mesure quantique.

Chat de Schrödinger

Le chat de Schrödinger, que l'on met dans une boîte, peut faire comprendre cette problématique.

Chat de Schrödinger
Chat de Schrödinger
(Figure : vetopsy.fr d'après Dhatfield)

La fonction d'onde (cf. chapitre spécial), $\psi$, décrit l'état quantique d'un système, $\left\vert\psi(t)\right\rangle$, en respectant les contraintes imposées par les relations d'Heisenberg. Elle permet de calculer une densité de probabilité de trouver une particule dans un volume donné (principe de superposition lié au principe d'incertitude).

  • La mesure sélectionne un état quantique et un seul : on assiste à l'effondrement de la fonction d'onde.
  • Le fait d'ouvrir la boîte fixe alors l'état du chat (vivant ou mort).

La théorie de la décohérence quantique montre qu'un système quantique n'est pas isolé, mais en interaction avec d'autres.

  • La complexité de ces interactions rend les probabiliés " incohérentes ". En d'autres termes, elles modifient les fonctions d'onde - qui sont des vecteurs - qui peuvent alors devenir orthogonales, de produit scalaire nul, ce qui revient à dire que la probabilité d'observer un état est nul.
  • On peut observer uniquement les états macroscopiques : le chat est vivant OU mort.
Chat braket
Chat de Schrödinger en bra-ket
(Figure : vetopsy.fr)

« Demander que l'on « décrive ce qui se passe » dans le processus quantique entre deux observations successives est une contradiction in adjecto, puisque le mot « décrire » se réfère à l'emploi des concepts classiques, alors que ces concepts ne peuvent être appliqués dans l'intervalle séparant deux observations [...] L'ontologie du matérialisme reposait sur l'illusion que le genre d'existence, la « réaliste » directe du Monde qui nous entoure, pouvait s'extrapoler jusqu'à l'ordre de grandeur de l'atome. Or, cette extrapolation est impossible. » Heisenberg

Observables et état quantique

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible