• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Symétries et lois d'invariance : vue d'ensemble

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

Les symétries sont des transformations qui agissent sur un objet géométrique ou un système physique en préservant :

  • Le corps de l'homme de Vitruve
    Le corps de l'homme de Vitruve
    Léonard de Vinci (1492)
    des propriétés géométriques (par exemple les dimensions, les angles, ou le volume…), ou
  • des propriétés physiques (structure interne, dynamique…).

Vue d'ensemble

En physique, la notion de symétrie est intimement associée à la notion d'invariance : elle renvoie à la possibilité de considérer un même système physique selon plusieurs points de vue distincts en termes de description, mais équivalents quant aux prédictions effectuées sur son évolution.

On parle donc du groupe de symétrie (ou d’invariance) de l’objet considéré : la composition de deux symétries est encore une symétrie.

Symétries et invariances

La symétrie permet de simplifier les lois de la physique, i.e. elles sont invariantes lorsqu’on applique certaines transformations. Cette transformation doit être une transformation unitaire.

Un opérateur linéaire, noté avec un chapeau $\hat Oper$ satisfait la condition suivante :

  • $U(\lambda|\varphi\rangle+\mu|\psi\rangle=\lambda U|\varphi\rangle+\mu U|\psi\rangle$, d'où
  • $\langle\varphi|U^\dagger|\psi\rangle=\langle U\varphi|\psi\rangle=\langle|\psi|U\varphi\rangle^\ast$.
Fabrication de poterie à Haguenau
Fabrication de poterie
(Photo : Potiers de Haguenau)

Un opérateur unitaire $\hat Oper$ satisfait la condition suivante :

$\langle U\varphi|U\psi\rangle=\langle \varphi|\psi\rangle$

Prenons un exemple pour mieux comprendre. Soit une observable, on peut écrire :

  • $|i'\rangle\;=\;U|i\rangle$ et $|f'\rangle\;=\;U|f\rangle$ dans laquelle $U$ représente la transformation unitaire sur l'état initial et l'état final.
  • Cette transformation nécessite la matrice-$S$ (matrice de diffusion - p: 75 - qui est unitaire), qui laisse le résultat inchangé d'où : $\langle f|S|i\rangle\;=\;\langle f'|S|i'\rangle$ $=\langle f|U^\dagger SU|i\rangle$ avec $[SU]=0$, i.e. l'opérateur de transformation $U$ commute avec la matrice-$S$.
  • La matrice $S$ est reliée à l'hamiltonien $H$, donc $[HU]=0$ pour que l'invariance soit vérifiée.
  • $U^\dagger$ est la matrice conjuguée.

Cette correspondance permet aussi de conserver des quantités, ce qui peut être formulé par le théorème de Noether : à toute transformation qui laisse invariantes les équations de mouvement ou autrement dit, qui commute avec l’hamiltonien, on peut associer une quantité conservée (les théorèmes de Noether : invariance et lois de conservation au XXeme siècle).

$H\;\rightarrow\;H'=UH=H$, d'où $\Psi\;\rightarrow\;\Psi'=U\Psi=\Psi$ dans lequel $\Psi$ représente une fonction d'onde.

Emmy  Noether
Emmy Noether (1882-1935)

La correspondance entre ces deux notions - symétrie et loi d'invariance - est attribuée à Emmy Noether (1882-1935) en 1917 : à toute loi de conservation correspond une symétrie et à toute symétrie correspond une loi de conservation. Cette correspondance est démontrée pour :

Brisures de symétrie

Si, lors d'une expérience, on n'observe pas de symétrie, on dit que la symétrie est brisée.

  • Soit, c'est une brisure explicite lorsque la loi qui régit son comportement est modifiée et n'est plus invariante.
  • Soit, c'est une brisure spontanée lorsque les lois sous-jacentes sont invariantes sous la symétrie, mais que la réalisation particulière du système observé ne l'est pas.

Il existe des brisures spontanées de symétrie, en particulier en mécanique quantique : sous certaines conditions, les propriétés de la matière ne semblent pas respecter les équations invariantes qui décrivent le mouvement des particules (camerabrisures de symétrie).

  • Champ de Higgs
    Champ de Higgs
    (Figure : vetopsy.fr d'après planetastronomy.com)
    L'exemple pris le plus souvent est celui d'une balle en équilibre sur le sommet d'une montagne.
  • Cet état est symétrique, mais instable : la bille roule d'un côté ou de l'autre, brisant ainsi la symétrie du système.

On détecte qu'une symétrie est spontanément brisée si on remarque la présence d'un paramètre continu, par exemple l'énergie du système, dont à une certaine valeur, la symétrie est complètement restaurée.

Prenons par exemple un système à une $E\approx100\,GeV$ dans lequel la force électromagnétique et la force faible constitue une seule force, la force électrofaible. En dessous, de cette énergie, il y a brisure de symétrie et séparation des deux forces.

En théorie quantique des champs, on dit qu'une symétrie de la théorie possède une anomalie (ou que la symétrie est anormale) lorsqu'elle est une invariance classique au niveau de l'action mais qu'elle est brisée une fois que la théorie est quantifiée.

C'est le cas par exemple le cas pour le moment anomal de l'électron.

Le prix Nobel 2008 a été attribué aux chercheurs Yoichiro Nambu (1921-2015), Makoto Kobayashi et Toshihide Maskawa pour leurs travaux sur la brisure de symétrie entre particules et antiparticules (symétrie $\mathcal C\mathcal P$).

Lois de conservation
Quantité conservée Interactions
fortes

Interactions
électromagnétiques

Interactions
faibles
Énergie-impulsion Oui Oui Oui
Moment cinétique total Oui Oui Oui
Moment angulaire total Oui Oui
Spin Oui Oui Oui
Parité $\mathcal P$ Oui Oui
Conjugaison de charge $\mathcal C$ Oui Oui
Symétrie $\mathcal C\mathcal P$ Oui Oui
Parité $\mathcal G$ Oui Oui
Inversion temps $\mathcal T$ Oui Oui
Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$ Oui Oui Oui
$Q$ : charge électrique Oui Oui Oui
$B$ : nombre baryonique Oui Oui Oui
$S$ : étrangeté Oui Oui
$C$ : charm Oui Oui
$B'$ : bottom Oui Oui
$T$ : top Oui Oui
Charge de couleur Oui Oui Oui
$L$ : nombre leptonique Oui Oui Oui
$L_e$ : nombre électronique Oui Oui Oui
$L_\mu$ : nombre muonique Oui Oui Oui
$L_\tau$ : nombre tauique Oui Oui Oui
$I$ : isospin fort Oui Oui
$I_3$ : isospin fort Oui Oui

Quelques définitions sur la symétrie

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible