• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Moments magnétiques : moment magnétique de spin

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

Lors d'une étude spectroscopique poussée et en l'absence de champ magnétique (expérience de Stern et Gerlach), le spectre de l'hydrogène montre un ensemble de raies spectrales qui ne devrait pas exister, et qui a abouti à la notion de spin.

Expérience de Stern-Gerlach
Expérience de Stern-Gerlach
(Figure : vetopsy.fr d'après Koga)

Moment magnétique de spin

Le moment magnétique de spin représente le moment magnétique associé au moment cinétique de spin $S$ d'une particule.

Le moment magnétique de spin d'une particule, qui est une observable, est un vecteur $\vec\mu_S$ tel que :

$\vec\mu_S=g\dfrac{q}{2m}\vec S=\gamma\vec S$

Moment magnétique de spin 
 de l'électron

$\vec\mu_S=g\dfrac{q}{2m_e}\vec S=\gamma\vec S$

Dans le cas de l'électron, comme : $g\approx-2$, et le spin de l'électron est $S=\hbar/2$, alors :

  • Alfred Landé
    Alfred Landé (1888-1976)
    $\mu_S\approx-2\dfrac{-e}{2m_e}\dfrac{\hbar}{2}=\mu_B=\left(-\dfrac{e\hbar}{2m_e}\right)=\left(\dfrac{q\hbar}{2m_e}\right)=\mu_B$.
  • $\mu_B$ est le magnéton de Bohr.
  • $\mu_S$ est de signe opposé au spin par la charge de l'électron.

En mécanique quantique, on peut écrire en général, et non seulement pour l'électron puisque $g$ varie avec les particules :

$\vec\mu_S=-g\dfrac{\mu_B}{2}\vec\sigma$, sachant que le moment cinétique de spin $\vec S$, peut s'écrire $\dfrac{\hbar}{2}\vec\sigma$, $\sigma$ étant les matrices de Pauli.

  • L'amplitude du moment magnétique est mesurée, pour les observables en mécanique quantique sur la projection de l'axe quantique $z$, et les observables le long des axes sont $\pm\hbar/2$.
  • $\vec S$ est remplacé par sa valeur propre $\sqrt{s(s+1)}$ où $s$ est le nombre quantique de spin.
  • Le moment magnétique de spin est : $|\vec\mu_s|=g\mu_B\sqrt{s(s+1)}$.
  • $s$ vaut 1/2 pour l'électron, ce qui donne $|\vec\mu_s|=\mu_B\sqrt3$, équivalent à environ 1,73 magnéton de Bohr.

L'équation de Dirac prévoit que le facteur de Landé n'est pas -2 pour l'électron, mais -2,002 319 304 361 82 (52). Cet écart est appelé moment magnétique anomal qui continue d'être calculé à l'heure actuelle (valeur de 2014).

On introduit donc une anomalie $a$, telle que : $g=2(1+a)$, d'où $a=\dfrac{(g-2)}{2}$.

En théorie quantique des champs, on dit qu'une symétrie de la théorie possède une anomalie (ou que la symétrie est anormale) lorsqu'elle est une invariance classique au niveau de l'action mais qu'elle est brisée une fois que la théorie est quantifiée.

Niels Bohr, Werner Heisenberg et Paul Dirac
Niels Bohr (1885-1962),
Werner Heisenberg
(1901-1976)
Paul Dirac
(1902-1984)

Cette anomalie dépend de la constante de couplage de l'interaction électromagnétique, appelée aussi constante de structure fine $\alpha$ telle que : $a=A_1\alpha_1+A_2\alpha_1^2+A_3\alpha_1^3+A_4\alpha_1^4+o(\alpha_1^4)$ avec :

  • $\alpha_1=\alpha/\pi\simeq 0,002\;322\;819\;465\;36$ ;
  • $A_1=1/2$, $A_2\simeq-0,328\;847\;896\;557\;919\;378$, $A_3\simeq1,181\;241\;456\;587$, $A_4\simeq-1,728\;3(35)$.

L'électron est léger et donc influençable par les autres particules élémentaires et les bosons de l'interaction faible.

  • $\alpha$ théorique est : $\alpha_{th}\simeq0,001\;159\;652\;153\;5(24\;0)$ ;
  • $\alpha$ expérimental est de $\alpha_{exp}\simeq0,001\;159\;652\;180\;85 (76)$.

Une anomalie est aussi décelée pour les autres leptons, le muon ( μ-) et le tauon-).

  • Pour le muon : $\alpha_{th}\simeq0,001\;165\;918\;04\;(51)$ alors que $\alpha$ expérimental est de $\alpha_{exp}\simeq0,001\;165\;920\;91\;(54)\;(32)$.
  • Pour le tauon : elle n'a pas encore été précisée expérimentalement, vu sa très courte durée de vie, mais $\alpha_{th}\simeq0,001\;177\;21(5)$.

Moment magnétique de spin des nucléons

Pour calculer le moment magnétique de spin des nucléons, on remplace le magnéton de Bohr par le magnéton nucléaire, en utilisant la masse du proton et un $ g_N=+2$ et $q=e$ :

$\mu_N=\dfrac{e\hbar}{2m_p}=5,050\;783\;53\;10^{-27}\;JT^{-1}$

Orbitales et spin
Orbitales et spin
(Figure : vetopsy.fr)

Il ne faut pas confondre magnéton nucléaire et moment magnétique nucléaire.

1. le moment magnétique du proton est :

  • $\mu_p=g_p\dfrac{\mu_N}{2}=1,410\;606\;662\;.\;10^{-26}\;JT^{-1}$
  • où $g_p$ est le facteur de Landé du proton qui vaut $g_P=5,585\;694\;78$.

2. le moment magnétique du neutron est :

  • $\mu_n=g_n\dfrac{\mu_N}{2}=-0,966\;236\;41\;10^{-26}\;JT^{-1}$
  • où $g_n$ est le facteur de Landédu proton qui vaut -3,8260855.

On peut se demander pourquoi le neutron possède un moment magnétique de spin alors qu'il est considéré comme neutre ?

  • C'est une preuve indirecte qu'il est composé de 3 quarks, chacun ayant un spin.
  • On doit aussi remarquer qu'il est négatif.

Moment magnétique total

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible