• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Moments angulaires : spin ($S$)

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

bien

Dans les deux mécaniques, classique et quantique, le moment angulaire (ou cinétique) est l'une des trois propriétés fondamentales du mouvement avec la quantité de mouvement et l'énergie.

La notion de moment angulaire regroupe plusieurs opérateurs qui ne doivent pas être confondus en mécanique quantique.

Le nombre quantique $s$ est le quatrième nombre quantique qui permet de définir l'état quantique unique d'une particule (spin-orbitale).

Notion de spin

définition

Le spin est le moment angulaire intrinsèque des particules quantiques : il définit l'orientation des particules dans un champ magnétique.

Expérience de Stern et Gerlach

Expérience de Stern-Gerlach
Expérience de Stern-Gerlach
(Figure : vetopsy.fr d'après Koga)

L'expérience de Stern et Gerlach (cf. ci-contre), faite en 1922 par Walter Gerlach (1889-1979) et Otto Stern (1888-1969), a montré qu'en mécanique quantique, on ne peut pas utiliser uniquement le moment angulaire " classique ", opérateur vectoriel qui possède trois composantes, correspondant chacune aux différentes dimensions de l'espace.

Pour l'expliquer cette expérience, on doit distinguer :

1. le moment angulaire - ou cinétique - orbital " classique ", $L$, i.e. rotation de l'électron autour du noyau.

2. le moment angulaire ou cinétique intrinsèque ou spin $S$ - au départ,  rotation de la particule sur elle-même (en anglais " spin ", tourner) -, découvert en 1925 par George Uhlenbeck (1900-1988) et Samuel Goudsmit (1902-1978).

La représentation du spin en terme de simple rotation (comme une " toupie ) a été abandonnée : pour un électron, elle nécessiterait une vitesse tangentielle de rotation à l'équateur qui serait supérieure à la vitesse de la lumière, ce qui est impossible dans le modèle standard (Wolfgang Pauli, 1924). Toutefois, l'image de la toupie permet de la rendre compréhensible, même si elle est fausse.

On peut extrapoler l'expérience de Stern et Gerlach en disant que chaque électron se comporte comme un petit aimant qui possède un pôle nord et un pôle sud : c'est cette propriété qu'on appelle spin (cameraexpérience de Stern et Gerlach).

George Uhlenbeck et Samuel Goudsmit
George Uhlenbeck et Samuel Goudsmit

Le spin d’une particule pourrait être représenté non une rotation de la particule mais une rotation du vide (constitué de particules et d’antiparticules virtuelles) autour de la particule (cf. article).

attention

Cette rotation est purement quantique, et n'a pas d'équivalent en mécanique classique (cf. monde quantique).

Opérateur de spin

Ce spin $S$ est représenté, par un opérateur vecteur de spin $S=(S_x\,,S_y\;,S_z)$ dont les trois opérateurs ont des relations de commutation identiques à celles de $L$ qui suivent le principe d'incertitude.

  • $[S_i,S_j]=i\hbar\sum\limits_{n=1}^{3}\epsilon_{ijk}S_k$, $\forall i,j,k\;\in\{x,y,z\}$,
  • où $\epsilon_{ijk}$ représente le symbole de Levi-Civita, i.e. indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker et ne prendre que trois valeurs : $-1,\;0,+1$

Par contre, il est possible de mesurer (simultanément) :

  • $S^2$, lié au nombre quantique de spin $s$ par l'équation suivante : $ S^2=\hbar^2s(s+1)$, où $s\in \{0,\;1/2,\;1,\;3/2\;,...\}$ et $\hbar$ est la constante de Planck réduite ;
  • Élie Cartan
    Élie Cartan (1869-1951)
    $S_z$, lié au nombre quantique de projection de spin $m_s$, projection de $S$ sur l'axe quantique classique $z$ : $S_z=\hbar m_s$, où $m_s\in \{-s\;,-(s-1),…\;,+(s-1)\;,+s\}$ : : on trouve donc $2s+1$ valeurs pour $m_s$

De manière purement quantique, le spin peut s'écrire : $\vec S$= $\dfrac{\hbar}{2}\vec\sigma$, $\sigma$ étant les matrices de Pauli.

  • Les vecteurs propres de $S_z$ sont : $\left\vert\uparrow\right\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$ et $\left\vert\downarrow\right\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$ d'où,
  • $\vec S_z\left\vert\uparrow\right\rangle=\dfrac{\hbar}{2}\left\vert\uparrow\right\rangle$ et $\vec S_z\left\vert\downarrow\right\rangle=-\dfrac{\hbar}{2}\left\vert\downarrow\right\rangle$ et $S^2\left\vert\uparrow,\downarrow\right\rangle=\dfrac{3\hbar^2}{4}\left\vert\uparrow,\downarrow\right\rangle$

En géométrie en la physique, les spineurs sont des éléments d'un espace vectoriel (complexe) qui peut être associé à l'espace euclidien (cf. les spineurs en physique).

  • C'est le mathématicien français Élie Cartan (1869-1951) qui les introduit en 1913.
  • Les spins peuvent être considérés comme des objets concrets en utilisant un choix de coordonnées cartésiennes. Dans l'espace euclidien par exemple, les spineurs peuvent être construits en faisant un choix de matrices de Pauli correspondant aux trois axes de coordonnées. Les vecteurs colonnes complexes à deux composants sur lesquels ces matrices agissent par multiplication matricielle sont les spineurs.
  • Les spineurs sont incorporés naturellement dans l'algèbre de Clifford : son algèbre de Lie permet de simplifier les calculs en utilisant les matrices gamma (ou de Dirac.
  • Paul Dirac utilisa les bispineurs pour sa fameuse équation de la fonction d'onde d'un fermion ($S=1/2$).
Erwin Schrödinger et Paul Dirac
Erwin Schrödinger (1887-1961) et Paul Dirac (1902-1984)

Le spin se combine avec le moment angulaire orbital pour donner le moment angulaire total $ J$ : $ J=L+S$.

Le couplage spin-orbite (appelée aussi couplage du moment angulaire) est dépendante de la conservation de $J$ et explique de nombreuses expériences sur l'atome.

Il faudra attendre 1928 et Paul Dirac (1902-1984) pour introduire le spin dans l’équation de Schrödinger.

Symétrie du spin

Dans les groupes de spin, l'algèbre de Lie est $SU(2)$.

La rotation à 360° en mécanique classique $(R^3)$ renvoie au même vecteur $R(\hat z,360°)$ - groupe $SO(3)$ -, ce qui n'est pas le cas en mécanique quantique (cf. connexion entre les deux groupes).

Si le moment angulaire orbital $L$ provoque une rotation des particules sans modifier le spin, le spin $S$ provoque la rotation du spin sans modifier les positions. Le moment angulaire total $(J)$ fait tourner l'ensemble du système.

Si le moment angulaire total est un demi-entier, la rotation autour de l'axe $z$ par exemple est $R_{otation}(\hat z,360°)=-1$ alors qu'elle est de $+1$ lorsqu'il est entier (camerarotation d'un spineur et théorie des twisteurs).

Nombre quantique de spin

Modèle standard des particules et symétries
Modèle standard des particules et symétries
(Figure : vetopsy.fr d'après Latham Boyle)
Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible