• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Principe de relativité
Relativité restreinte : simultanéité (exemple du train)

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

La relativité restreinte (" special relativity en anglais ") est basée sur le troisième article de juin 1905 (" De l'électrodynamique des corps en mouvement ") implique deux postulats.

1. Le principe de la relativité : « Toutes les lois de la physique doivent être les mêmes pour tous les observateurs se déplaçant à vitesse constante les uns par rapport aux autres. En conséquence, elles auront la même forme mathématique pour tous ces observateurs. Cela équivaut à reconnaître l'impossibilité de détecter le mouvement uniforme absolu. »

Albert Einstein en 1905
Albert Einstein en 1905

2. « La vitesse de la lumière dans le vide est la même pour tous les observateurs inertiels. » La vitesse de la lumière une constante fondamentale de la physique : $c=299\,792\,458\;m\cdot s^{-1}$.

Se pose alors le problème de la simultanéité, i.e. le fait que deux événements se produisent au même moment.

Problème de la simultanéité

Einstein prend l'exemple du train dans son article : « si nous disons " qu'un train arrive ici à 7 heures ", cela signifie " que la petite aiguille de ma montre qui pointe exactement le 7 et que l'arrivée du train sont des évènements simultanés ". Il peut sembler que toutes les difficultés provenant de la définition du « temps » peuvent être supprimées quand, au " temps ", nous substituons " la position de la petite aiguille de ma montre ". Une telle définition est dans les faits suffisante, quand il est requis de définir le temps exclusivement à l'endroit où l'horloge se trouve. Mais elle ne suffit plus lorsqu'il s'agit de relier chronologiquement des évènements qui ont lieu à des endroits différents -  ou ce qui revient au même - d'estimer chronologiquement l'occurrence d'évènements qui surviennent à des endroits éloignés de l'horloge. »

Expérience de pensée du train
Point de départ de l'expérience de pensée
(Figure : vetopsy.fr)

Prenons l'exemple bien connu du train qui voyage à très grande vitesse (constante) avec un passager à l'arrière du train et un observateur immobile sur le quai. Quand les deux personnes se retrouvent exactement au même niveau (pointillé sur la figure), chacun allume un laser pointé dans la même direction.

  • La vitesse de la lumière étant constante, les deux faisceaux (rouge et bleu) arrivent en même temps à l'avant du wagon (application de 1).
  • Le passager dira que le faisceau laser (la lumière) s'est déplacé d'une longueur de wagon.
  • L'observateur dira que la lumière s'est déplacée de la longueur du wagon + la distance parcourue par le wagon, ce qui est impossible.

Quand on parle de vitesse constante, on parle de longueur divisée par une durée, ce quotient devant être constant du point de vue de l'observateur et du passager.

Contraction des longueurs
1. Hypothèse de la contraction des longueurs (observateur)
(Figure : vetopsy.fr)
étonné

Comment expliquer cela ?

Hypothèses

1. Première hypothèse : si les résultats sont identiques du point de vue du passager et de l'observateur, i.e. le faisceau laser s'est déplacé d'une longueur de wagon - le wagon n'étant pas immobile, ce qui serait une solution - cela veut dire que :

  • pour l'observateur, la longueur du wagon perçue est plus petite ;
  • pour le passager, la longueur du train reste identique.

Mais attention, c'est uniquement un problème un point de vue : si on voit quelqu'un de loin, il paraît plus petit que s'il est plus proche. Pourtant, on sait qu'il garde la même taille, mais c'est la mesure que l'on en fait, i.e. angle sous lequel on le voit - qui change: on parle alors de distance angulaire.

 

Dilatation du temps
2. Hypothèse de la dilatation du temps (observateur)
(Figure : vetopsy.fr)

2. Deuxième hypothèse : si les résultats ne sont pas identiques, i.e. la longueur sur le quai est supérieure à celle du wagon, c'est le temps écoulé qui n'est plus identique.

  • Le trajet mesuré dans le train est plus court que celui mesuré sur le quai.

Conséquence étonnante : le passager est donc plus jeune que l'observateur !

  • Le temps doit s'écouler plus lentement sur le quai que dans le train pour garder la vitesse constante.
bien

On parle de dilatation du temps.

Réciprocité
3. Les deux hypothèses du point de vue du passager
(Figure : vetopsy.fr)

 

3. Tout cela paraît cohérent, mais il faut maintenant vérifier que l'inverse est vrai à cause du postulat d'équivalence des référentiels inertiels : ces propriétés doivent être symétriques.

  • ou le quai est plus court : c'est lui qui se contacte car il est en mouvement par rapport au wagon immobile. La lumière arrive trop vite, i.e. elle plus rapide que la vitesse de la lumière.
  • ou le temps se dilate sur le quai par rapport au wagon : la distance est alors trop courte.
étonnement

On voit bien que cela ne marche pas.

Introduction de 
  l'inclinaison du temps

Comment essayer de comprendre ces phénomènes ?

Contraction des longueurs, dilatation et inclinaison du temps
4. Contraction des longueurs, dilatation
et inclinaison du temps
(Figure : vetopsy.fr)

Pour comprendre un peu plus facilement :

Pour mieux appréhender ces concepts, cf. la page sur les diagrammes de Minkowski.

1. La symétrie des contractions des longueurs nous pose un problème car, comment se fait-il que le wagon soit plus petit et le quai puisse l'être aussi ?

  • Du point de vue de l'observateur, quand le wagon est contracté, on marque une flèche jaune qui indique l'avant du wagon.
  • Du point de vue du passager, quand le quai est contracté, on marque une flèche violette sur le quai qui indique l'avant du wagon.

2. Si on reprend le point de vue de l'observateur, il voit alors deux marques distinctes sur le quai, vu que le quai a repris sa taille " normale ".

3. Quand la simultanéité est présente à l'arrière du wagon, elle ne l'est plus à l'avant, i.e. il y a donc plus de simultanéité entre l'arrière et l'avant du wagon.

Du point de vue de l'observateur, il est minuit à l'arrière et à l'avant du wagon (flèche jaune).

Du point de vue du passager, il est aussi minuit à l'avant du wagon (flèche violette).

  • Or, il faut bien un laps de temps pour parcourir le trajet entre la flèche jaune et la flèche violette, cela veut dire qu'il n'était pas encore minuit à la flèche jaune.
  • Plus on s'éloigne de la flèche voilette plus le temps est grand : il faut donc se servir d'un gradient de vitesse.
  • Il est minuit à arrière du wagon, mais pas encore à l'avant du wagon (flèche jaune) (disons, $-15$ secondes) : le temps n'est pas unique, mais s'incline vers le passé.
Expérience complète du train
5. Expérience complète
(Figure : vetopsy.fr)

Quand le wagon avance, l'intervalle de temps est conservé, i.e. il sera minuit à la flèche violette à l'avant du train, mais $+15$ secondes à l'arrière du train pour garder la symétrie.

étonnement

Les passagers à l'arrière seront plus âgés que les passagers à l'avant pour l'observateur !

L'inclinaison du temps permet de garder cette symétrie.

Expérience 
 complète

bien

En fait de compte, les trois phénomènes, contraction des longueurs, dilatation du temps et inclinaison du temps, se combinent pour conserver les phénomènes symétriques dans tous les référentiels.

Quand le rayon laser arrive à l'avant du wagon, les temps dans le wagon et sur le quai sont identiques (cf. figure 5).

La différence de temps entre l'arrière et l'avant n'est qu'un effet de perspective, comme pour la taille des personnes auparavant.

On voit que la situation symétrique marche aussi !

Explications 
 mathématiques

Vous pouvez aller sur l'article " introduction à la relativité restreinte " pour voir les équations.

Pour passer d'un référentiel à l'autre, on utilise une transformation de Lorentz avec (cf. calculs) :

  • $x'=\dfrac{x-vt}{\sqrt{1-{\frac{\nu^2}{c^2}}}}$, $y'=y$, $z'=z\quad$ et $\quad t'=\dfrac{t-\dfrac{v}{c^2}x}{\sqrt{1-{\frac{\nu^2}{c^2}}}}$.
Contraction des longueurs et dilatation du temps
Contraction des longueurs et dilatation du temps
(Figure : vetopsy.fr)

Le facteur de Lorentz est : $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-{\frac{\nu^2}{c^2}}}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}$, où $\beta$ est appelé vitesse réduite telle que $\beta=\dfrac{v}{c}$, alors :

  • $x'=\gamma\;(x-vt)$, $y'=y$, $z'=z$ ;
  • $t'=\gamma\left(t-\beta\,\dfrac{x}{c}\right)$.

On retrouve alors (camerala relativité restreinte : dilatation du temps, contraction des longueurs) :

1. la contraction des longueurs pour la règle : $L'=\dfrac{L}{\gamma}$ ;

2. la dilatation du temps pour les miroirs : $t'=\gamma \,t$ (ce sont des temps propres $\large\tau$)

Dans l'exemple de la figure, il suffit d'utiliser le théorème de Pythagore :

  • $L^2+(vt'/2)^2=(ct'/2)^2$, d'où en isolant $t'$,
  • $t'=2L/\sqrt{c^2-v^2}=2L/c\cdot1/\sqrt{1-v^2/c^2}$.
  • Or, $t=2L/c$ d'où $t'=\gamma \,t$.

Expériences de pensée

On dénombre plusieurs expériences de pensée (en allemand : Gedankenexperiment) qu'aimaient bien Albert Einstein pour illustrer quelques phénomènes relativistes contre-intuitifs.

Paradoxe de jumeaux
Paradoxe de jumeaux
(Photo-montage : vetopsy.fr)

1. Les paradoxes des vitesses sont simples et du genre 250 000 + 250 000 = 299 792 458, puisque aucune vitesse peur dépasser la vitesse de la lumière.

2. Le paradoxe de la grange démontre la contraction des longueurs.

3. Le paradoxe des jumeaux ou paradoxe des horloges (Clock paradox) a été présenté par Paul Langevin (1872-1846) au congrès de Bologne en 1911. Sa résolution divise encore (cf. les facettes du paramètre des jumeaux et camera les solutions cachées et camera Le paradoxe des jumeaux dans le diagramme de Minkowski).

La conclusion, généralement admise est que le jumeau voyageur finit plus jeune que celui resté sur Terre.

  • Cela est dû à la dissymétrie car le jumeau voyageur change de référentiel galiléen pour revenir.
  • Les durées de vie de la création à l’annihilation de muons sont considérées comme en accord avec cette conclusion.

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Bibliographie
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