• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Rappels de mécanique classique newtonienne

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

attention

Ces pages rappellent très succinctement la mécanique classique et analytique pour pouvoir se faire une idée du modèle standard des particules élémentaires.

Isaac Newton
Isaac Newton (1642-1726)

Vous pouvez vous reporter grâce aux liens à tous les articles de Wikipedia ou d'autres sites qui pourront vous emmener plus loin.

Mécanique newtonienne

Dans la mécanique classique, appelée aussi newtonienne en l'honneur de Isaac Newton (1642-1726), un objet M est décrit par :

Isaac Newton pensait déjà la lumière comme un flot de corpuscules.

Temps et espace

Pour Newton, le temps et l'espace sont des notions absolues (cf. relativité de Newton).

L'origine du vecteur position se situe à l'origine du repère ($O$), l'autre extrémité du vecteur se trouve à l'endroit du point ($M$), le vecteur est appelé $\vec{OM}$.

Principia mathematica de Newton
Principia mathematica de Newton
(Figure : Joe Keatinge)

Ce vecteur peut être défini dans :

  • un système de coordonnées cartésiennes ($x,y,z$) du point M : $\vec{OM}=x\vec{e_x}+y\vec{e_y}+z\vec{e_z}$.
  • un système de coordonnées cylindriques ($r, \theta, z$) du point M : $\vec{OM}=r\vec{xe_r}+z\vec{e_z}$ avec $x=r\cos(\theta)$ et $y=r\sin(\theta)$
  • un système de coordonnées sphériques ($r, \theta, \phi$) du point M : $\vec{OM}=r\vec{xe_r}$ avec $x=r\cos(\theta)\sin(\phi)$ et $y=r\sin(\theta)\sin(\phi)$ et $z=r\cos(\phi)$.

En astonomie, on utilise le plus souvent les distances comobiles et les coordonnées polaires.

La masse et la position de l'objet, ainsi que le temps permettent, par exemple, de définir :

  • la trajectoire de cet objet : $O(x,y,z)= f(t)$,
  • sa quantité de mouvement…

Quantité de mouvement

Coordonnées
Coordonnées
(Figure : vetopsy.fr )

La notion de quantité de mouvement, $(\vec{p_M}=m\vec{v_M})$, comme celle de l'énergie totale, se conserve pour un système isolé, c'est-à-dire soumis à aucune action extérieure, ou si celles-ci sont négligeables ou se compensent. Ses unités sont M.L.T-1.

  • La relation fondamentale de la dynamique exprime le fait que l'action d'une force extérieure sur un système conduit à une variation de sa quantité de mouvement : $\dfrac {d\vec p}{dt}=\overrightarrow {F_{ext}}$
  • En mécanique classique, le moment cinétique (ou moment angulaire) $L$ d'un point matériel $M$ par rapport à un point $O$ correspond au moment de la quantité de mouvement $\vec p$ par rapport au point $O$, i.e. le produit vectoriel $\vec {OM}\wedge\vec p$ ou $\vec L=\vec r\wedge\vec p$ où $\vec r$ est le vecteur position et $\wedge$ est appelé produit extérieur. Ses unités sont M.L2.T-1.

La notion de produit extérieur permet de rendre compte de façon algébrique des concepts de parallélogrammes, parallélépipèdes… de dimension quelconque, vus comme produits des vecteurs qui en représentent les côtés.

bien

Dans la mécanique classique, le vecteur position et la quantité de mouvement décrivent complètement l'état d'un point matériel ($\vec r_M,\vec p_M$).

En d'autres termes, l'état du système, qui décrit tous les aspects de ce système - système dans le sens de partie de l'univers physique choisi pour l'analyse -, permet de déterminer exactement le résultat de mesures qu'on peut y réaliser. Cet état est représenté par un ensemble de grandeurs physiques.

Cette théorie est conforme à la logique aristotélicienne, incluant la notion de tiers exclu :  il faut qu'une porte soit ouverte ou bien fermée ou alors, qu'un chat soit vivant ou mort.

L'état du système est repéré par un point dans l'espace des phases - espace abstrait dans lequel tous les états dynamiques possibles d'un système sont représentés - : chaque état possible correspondant à un point unique dans cet espace.

  • La dimension d'un espace est le nombre de variables qui servent à définir un état.
  • Angles d'Euler
    Angles d'Euler
    (Figure : d'après Xavax)
    Pour un point matériel, l'espace de phase est de dimension 6 (6 variables dynamiques) :  les 3 variables de position ($q_i\rightarrow x, y, z$)  et les trois variables de quantité de mouvement (et $p_i\rightarrow p_x, p_y, p_z$ avec $p_x=mv_x,\;p_y=mv_y,\;p_z=mv_z$).

Degrés de liberté

Les variables dynamiques sont appelées degrés de liberté, ici 6. Si on prend l'exemple d'un avion qui vole, ou une barque sur l'eau, les 6 mouvements sont :

Les trois angles correspondent aux angles d'Euler qui décrivent l'orientation d'un solide. Les trois rotations d'Euler sont obtenues en changeant un des trois angles d'Euler et en gardant les deux autres constants (cameraanimation) :

Degrés de liberté d'un avion
Degrés de liberté d'un avion
(Figure : vetopsy.fr)

Si nous prenons N points, l'espace des phases aura 6N dimensions, correspondant à $\{q_i\}_{i=1,2,...,N}$ et $\{p_i\}_{i=1,2,...,N}$. L'état du système à l'instant t + $\tau$ se déduit de l'état du système à l'instant t à partir de toutes les lois de la dynamique.

Lois de Newton

En mécanique newtonienne, les équations du mouvement sont données par les lois de Newton.

  • Une particule est souvent noté $\alpha$, sa position $r_\alpha$, sa vitesse, $v_\alpha=\dot r_\alpha$, son accélération, $av_\alpha=\dot r_\alpha=\ddot r_\alpha$.
  • La seconde loi montre que : $f$, la force exercée est égale à la masse multipliée par l'accélération : $f_\alpha=m_\alpha a_\alpha=q_\alpha(E(r_\alpha)+v_\alpha\times B(r_\alpha))$ dans laquelle $E$ et $B$ sont les champs électrique et magnétique déterminés, en fonction des positions de particules, par la solution des équations de Maxwell.

Les énoncés des trois lois par Newton sont les suivants :

Issac Newton énonça également :

La résolution de toutes les équations, si elle est possible, est compliquée, surtout quand s'exercent des contraintes comme il en existe entre particules, contraintes qui sont de nouvelles inconnues qu'on doit résoudre.

bien

Pour illustrer ces problèmes, un cas instructif classique de contrainte, et simple à résoudre, est celui du double-pendule, bien décrit dans la mécanique analytique.

Mécanique analytique

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible