• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Parité : symétrie $\mathcal P$

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

définition

En mécanique quantique, la symétrie $\mathcal P$ - transformation de parité ou inversion de parité - est le basculement dans le signe d'une coordonnée spatiale.

Dans le modèle standard des particules, la parité ou symétrie $\mathcal P$ fait partie des trois symétries fondamentales, bien qu'on en trouve des violations, avec :

Ces parités sont liées par la symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$.

bien

Vous pouvez voir des interwiews de Murray Gell-Mann sur ce sujet et bien d'autres.

Parité
Parité
(Figure : vetopsy.fr)

Opérateur parité

La parité correspond à une réflexion dans l'espace, dans laquelle $ x\;\rightarrow\;x'=-x$, qui définit forcément une symétrie discrète.

Si on utilise un espace, la symétrie de parité (symétrie P ou inversion de l'espace) est une opération dans laquelle le vecteur position $\vec r$ passe de $\vec{x}\rightarrow-\vec{x}$ :

$\mathcal P:\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}-x\\-y\\-z\end{pmatrix}$ avec une matrice $\mathcal P:\begin{pmatrix}-1 & \phantom{-}0 & \phantom{-}0\\\phantom{-}0&-1&\phantom{-}0\\\phantom{-}0&\phantom{-}0&-1\end{pmatrix}$

Dans un espace euclidien, l'opération peut être décomposée en une symétrie par rapport au plan (O,x,y) et une rotation de $\pi$ (180°) par rapport à (O,z) :

  • La parité $\mathcal P$ une expression de la chiralité.
  • Mais comme, on considère l'espace est considéré comme isotropique, et qu'on définit une invariance par rotation pour les particules, cela revient à dire que c'est une symétrie miroir.

Dans l'espace de Hilbert des états du système, l'opérateur unitaire $\hat P$ représente l'opération $\mathcal P$ . On en déduit que :

  • $\mathcal P^2=\mathcal I$, i.e. la parité appliquée deux fois est une identité, ce qui implique $\hat P^2=\hat I$, d'où $\hat P=\hat ¨P^+=\hat P^{-1}$.
  • L'opérateur $\hat P$ est hermitien et unitaire, i.e. c'est une observable de valeur $\eta_P=\pm1$.
  • $\mathcal P\mathcal R=\mathcal R\mathcal P$ , i.e. la parité commute avec les rotations.

Sous l'opérateur de parité, certaines quantités ou opérateurs :

Symétrie P et sa violation
Symétrie $\mathcal P$ et sa violation
(Figure : vetopsy.fr d'après SiBr4)

1. changent de signe ($\eta_P=-1$, $\eta_P=-$ ou parité impaire - odd -), i.e. anticommutent avec $\mathcal P$ comme :

  • les vecteurs comme les observables vectoriels de position et de la quantité de mouvement, i.e. anticommutent avec $\mathcal P$.
  • les pseudo-scalaires, qui comme leur nom l'indique, sont le résultat d'un produit scalaire (invariable par rotation), comme l'hélicité par exemple.

2. sont invariants ($\eta_P=+1$, $\eta_P=+$ ou parité positive ou paire - even -), i.e. commutent avec $\mathcal P$ comme :

Un système qui conserve la parité est décrit par un hamiltonien $H$ qui commute avec $\mathcal P$, soit $[\mathcal P,H]=0$.

bien

La parité est conservée dans les interactions fortes et les interactions électromagnétiques, mais pas dans les interactions faibles (violation de la parité).

  • $[\mathcal P,H_{inter.fortes}]=[\mathcal P,H_{elec.magn.}]=0$.
  • $[\mathcal P,H_{inter.faibles}]\ne0$.

Parité de la fonction d'onde

Parité d'une fonction d'onde
Parité d'une fonction d'onde

Nous avons vu que dans l'équation de Schrödinger pouvait s'écrire :

$$\psi(r,\theta,\phi)=\underbrace{R(r)}_{n}\overbrace{P(\theta)F(\phi)}^{\ell,\;m_\ell}=R(r)Y_{\ell m_\ell}(\theta,\phi)$$

Le passage de $x\rightarrow-x$ en coordonnées sphériques fait que $(r,\theta,\phi)\rightarrow(r,\pi-\theta,\phi+\pi)$, la partie radiale est invariante, et donc que $\mathcal P Y_{\ell m_\ell}(\theta,\phi)=(-)^\ell Y_{\ell m_\ell}(\theta,\phi)$.

La parité d'une fonction d'onde spatiale est $(-1)^L$ pour un état propre $\hat L^2$.

Le moment angulaire orbital $L$ de l'état, le nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$, détermine donc la parité orbitale :

  • pour $\ell=0,2,4,…$, i.e. les sous-couches $s,d,g,…$, $\eta_P=+1$,
  • pour $\ell=1,3,5,…$, , i.e. les sous-couches $p,f,h,…$, $\eta_P=-1$.
attention

La parité totale $\mathcal P$ est, comme la transformation de charge $\mathcal C$, multiplicative, i.e. la loi de conservation de la parité s'applique au produit des parités.

Pour deux particules de parité $\eta_{Pa}$ et $\eta_{Pb}$ et de $L$, la valeur propre associée à leur moment angulaire relatif, alors : $\eta_{P}^{totale}=\eta_{Pb}\eta_{Pa}(-1)^L$.

Parité intrinsèque

La reproduction interdite de Magritte
La reproduction interdite
(Tableau de René Magritte - 1937 -)

Cette notion se rapporte, par exemple, à l'opérateur de spin $S$ qui commute avec $\mathcal P$.

  • Si son état est $|m_s\rangle$, c'est-à-dire la projection de $S$ sur l'axe $z$, et qu'on applique l'opérateur $\mathcal P$, l'état de spin reste inchangé et est un état propre de la parité.
  • La valeur propre $\eta$ ne dépend pas de la valeur de $m_s$, nombre quantique de projection de spin : c'est donc bien une caractéristique intrinsèque de la particule.

Cette parité intrinsèque d'une particule est : $\eta_P=\pm1$

  • Pour les particules sans masse, la parité intrinsèque est définie par rapport à l'hélicité : pour un photon par exemple, $-1$.
  • Pour les particules massives (quarks, leptons, baryons…) sont fixées arbitrairement à $+1$.

Les parités des antiparticules est fixée par la formule : $\eta_{antipart.}=\eta_{part.}(-1)^{2S}$, i.e.

  • les antiparticules de spin 1/2 ont une parité opposée (en accord avec l'équation de Dirac), d'où la formule $\eta_{12}=(-1)^{L+1}$.
  • celles de spin entier, la même parité que leurs particules, d'où la formule $\eta_{12}=(-1)^{L+1}$.

Si $S$ est le spin de la particule, on trouve (cf. plus haut) :

  • $\eta_P=+1$ :
    • spin=0, particule scalaire,
    • spin=1, particule pseudo-vectorielle ou axiale ;
  • Violation de la symétrie P : expérience de Wu
    Violation de la symétrie P
    - expérience de Wu -
    (Figure : vetopsy.fr d'après nagualdesign)
    $\eta_P=-1$ :
    • spin=0, particule pseudo-scalaire,
    • spin=1, particule vectorielle.

Normalement, dans un système où la nature des particules ne change pas, on peut s'affranchir de la parité intrinsèque par factorisation, ce qui n'est pas le cas lors de création ou d'annihilation de particules.

Violation de la parité

Une violation de $\mathcal P$ (brisure de symétrie) a été mise en évidence lors de l'interaction faible :

$$^{60}_{27}CO\rightarrow\;^{60}_{28}Ni+e^++\overline\nu_e+2\gamma$$

attention

L'électrodynamique quantique et la chromodynamique quantique possèdent la symétrie $\mathcal P$. L'interaction faible viole la symétrie de parité.

Hélicité et chiralité d'une particule

Bibliographie
  • Marieb E. N. - Anatomie et physiologie humaines - De Boeck Université, Saint-Laurent, 1054 p., 1993
  • Maillet M. - Biologie cellulaire - Abrégés de Masson, 512 p, 2002
  • Lodish et coll - Biologie moléculaire de la cellule - De Boeck Supérieur, Saint-Laurent, 1207 p., 2014