• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Hélicité et chiralité

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

Lors de l'étude de la parité $\mathcal P$, deux notions ont été abordées :

Hélicité d'une particule

définition

L'hélicité est la projection du spin $\vec S$ d'une particule sur la direction de sa quantité de mouvement $\vec p$.

L'hélicité est conservée, i.e. aucun changement de repère ne peut la modifier : c'est une constante du mouvement.

L'opérateur d'hélicité est : $H=\dfrac{\sigma\cdot p}{|p|}=\pm1$ où $\sigma$ est l'opérateur de spin.

L'hélicité est dite :

  • droite ($\nu^D$) si le spin est de même sens que le mouvement, comme un tire-bouchon qui progresse ($H=+1$) ;
  • gauche ($\nu^G$) s'il est de sens contraire ($H=-1$).

Soit des neutrinos à l'état libre. L'équation de Dirac, si l'on admet que leur masse est nulle comme dans le modèle standard, se réduit à l'équation de Weyl :

$\sigma^\mu\partial_\mu\psi=0$, où $\sigma$ est le spin et $\psi$ est sa fonction d'onde

Les spineurs de Weyl $\Psi$ se découplent respectivement en $\Psi_L$ et $\Psi_R$ :

$\psi=\begin{pmatrix}\psi_1\\\psi_2\end{pmatrix}=\chi e^{\displaystyle-i(k\cdot r-\omega t)}=\chi e^{\displaystyle-i(p\cdot r-Et)/\hbar}$, où $\chi=\begin{pmatrix}\chi_1\\\chi_2\end{pmatrix}$ est un spineur constant.

On trouve $(p^0-\vec\sigma\cdot\hat p)\Psi_R(\vec p)=0$ et $(p^0+\vec\sigma\cdot\hat p)\Psi_L(\vec p)=0$ (cf. fermions de Dirac, Weyl, Majorana).

  • Pour un spin de $1/2$, $\vec\sigma\cdot\hat p/2$ est bien la projection du moment angulaire sur la direction de l'impulsion : $\Psi_R(\vec p)$ correspond à l'hélicité $\lambda=+1/2$ - polarisé à droite - et $\Psi_L(\vec p)$ à l'hélicité $\lambda=-1/2$ - polarisé à gauche -.
  • Boucles coronales
    Boucles coronales
    (Photo : Observatoire de Paris)
    Ce sont bien deux particules différentes $(+)$ pour $\nu^D$ et $(-)$ pour $\nu^G$, i.e. aucune transformation de Lorentz peut les relier.

Les neutrinos ont une hélicité gauche et leurs antiparticules une hélicité droite.

  • Leur parité est de $\mathcal P=-1$ et $\mathcal P=+1$.
  • Dans les quatre solutions de l'équation de Dirac, seules 2 sont admises pour les neutrinos : on parle de théorie des neutrinos à 2 composantes.

On parle aussi d'hélicité magnétique dont la conservation est en voie de confirmation pour les boucles coronales des fluides magnétisés comme dans le soleil.

Chiralité d'une particule

La chiralité d’une particule est déterminée selon que la particule se transforme dans la représentation droite ou gauche du groupe de Poincaré du physicien Jules Henri Poincaré (1854-1912) : cette chiralité ne dépend pas du mouvement de la particule.

Démonstration

Chiralité d'une particule massive
Chiralité d'une particule massive
(Figure : vetopsy.fr d'après quantumdiaries)

Si on considère maintenant une particule de masse n'est pas nulle, on retrouve l'équation de Dirac où les spineurs $\chi$ et $\psi$ sont des vecteurs propres de de la matrice $\gamma_5$ avec les valeurs propres de $\pm1$ : ces spineurs ont une chiralité positive ou négative.

L'opérateur de projection des spineurs de Dirac ($\Psi$, vecteur à quatre composantes) qui les détermine est $P_{L,R}=\frac{1}{2}(1\pm\gamma_5)$, à valeurs propres $\pm1$, i.e. les représentations gauche et droite sont données par :

$\Psi_{L,R}=P_{L,R}\,\Psi=\dfrac{1}{2}(1\pm\gamma_5)\,\Psi$

  • où $P_{L,R}$ et $\gamma_5$ sont des matrices $4\times4$,
  • $\Psi$ le vecteur à 4 composantes.

La masse couple les spineurs de chiralité droite et gauche (cf. fermions de Dirac, Weyl, Majorana) :

$\begin{pmatrix}-m&p^0-\vec\sigma\cdot\hat p\\p^0+\vec\sigma\cdot\hat p&-m\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Psi_L(\vec p)\\\Psi_R(\vec p)\end{pmatrix}=0$

Conséquences

1. Pour des particules sans masse (photon, gluons et l'hypothétique graviton), chiralité et hélicité sont identiques, i.e. les directions et du spin et de la quantité de mouvement sont indépendant du repère.

  • Lorentz et Poincaré
    Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)
    Jules Henri Poincaré (1854-1912)
    Une particule sans masse se déplace à la vitesse de la lumière : un observateur réel, qui voyage à une vitesse bien plus faible que celle de la lumière, ne peut se trouver dans un cadre de référence où la particule semble inverser sa direction relative, i.e. ils " voient " la même chiralté.
  • De ce fait, la direction de rotation des particules sans masse n'est pas affectée par un boost de Lorentz (changement de point de vue) dans la direction du mouvement de la particule, et le signe de la projection (hélicité) est fixé pour tous les cadres de référence (invariance).

Dans les quatre solutions de l'équation de Dirac, seules 2 sont admises pour les neutrinos : on parle de théorie des neutrinos à 2 composantes.

2. Par contre, pour les particules massives (leptons, quarks), la chiralité et l'hélicité ne sont pas identiques, i.e. il y a quatre solutions de l'équation de Dirac. En changeant de repère, les directions du mouvement de la particule peuvent s'inverser alors que sa chiralité est invariante.

Ettore Majorana
Ettore Majorana (1906-1938 ?)

Pour ces particules massives, la chiralité n'est pas une constante de mouvement.

Masse des neutrinos et particule de Majorana

Le problème de la masse des neutrinos est primordiale.

  • Si elle n'est pas nulle, le neutrino de Dirac possède les quatre composantes.
  • Mais, on pourrait aussi supposer, que même si les masses sont non-nulles, on puisse ne retrouver que deux composantes seulement.

L'hypothèse est celle des particules de Majorana (ou fermions de majorana) du nom d'Ettore Majorana (1906-1938 ?), émise en 1937 (cf. les neutrinos pour les calculs).

Or, d'après les expériences d'oscillations des neutrinos, décrites en 1960 par Bruno Pontecorvo (1913-1993), ceux-ci ont une masse très faible.

1. Le neutrino pourrait en faire partie et serait sa propre antiparticule.

Pour simplifier, la désintégration bêta- (β-), en action dans les étoiles, transforme un neutron en proton et un antineutrino (et un électron) : $n\rightarrow p+e^-+\bar\nu_e$.

  • Double désintégration beta
    Double désintégration beta
    (Figure : vetopsy.fr)
    Certains noyaux peuvent, avec une probabilité très faible (1 en 1024 ans), la subir deux fois (double désintégration bêta (β) : ββ2ν) et ainsi produire 2 antineutrinos, ce qui a été démontré par l'expérience NEMO (Neutrino Ettore Majorana Observatory).
  • Elle a aussi permis de démontrer que la masse du neutrino était comprise entr 0,5 et 1 eV.

Majorama a émis l'hypothèse qu'aucun antineutrino puisse alors créé car ils s'annihileraient, i.e. le champ $\nu$ est son propre conjugué de charge ($\nu=\bar\nu$).

  • Les particules peuvent être massives, et on trouve seulement les deux composantes classiques $\nu^G$ et $\bar\nu^D$.
  • En outre, la conservation du nombre leptonique $L$ serait violé.
  • C'est ce qu'espère trouver des études en cours de réalisation à l'heure actuelle comme Super Nemo.

Si on combine les termes de masse de Dirac $\mathcal L_{masse}^D$ et de Majorana $\mathcal L_{masse}^M$, on obtient la formule : $m_1=-\dfrac{1}{2}\left(m_L+m_R-\sqrt{(m_L-m_R)^2+4m_D^2}\right)$

  • si $m_L=m_R=0$, on retrouve le neutrino de Dirac,
  • si $m_D=0$, on retrouve la particule de Majorana.

2. Le mécanisme de seesaw (balancoire ou bascule), qui produit de très petits nombres à partir de nombreux "  normaux ", prédit que la masse des neutrinos est de l'ordre de l'électronVolt, ce qui renvoit à la physique au-delà du modèle standard. En se basant sur deux observations, on peut dire que :

Si $m_R\gg m_L$ et $m_R\gg m_D$, les neutrinos gauches ont une très faible masse et que les droits n'interagissent pas (neutrinos dits stériles).

  • Alors on trouve, $m_2=m_R(1+m_D^2/m_R^2)\approx m_R$ et $m_1\approx m_D^2/m_R$,
  • Séparation des quatre forces fondamentales
    Séparation des quatre forces fondamentales
    (Figure : vetopsy.fr)
    d'où : $m_1\times m_2=m_D^2$ qui décrit le mécanisme de la balançoire dans lequel, plus le neutrino est léger, plus le neutrino de Majorana est lourd.

En outre, cette masse du neutrino de Majorama, supérieure à 1014 Gev :

Le neutralino ($\tilde\chi_i^0$) hypothétique du modèle supersymétrique, utilisé dans la théorie des supercordes, serait une particule de Majorana.

Symétries C, G, CP, T et CPT

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible