• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Équation de Dirac

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

En 1928, Paul Dirac (1902-1984) introduisit la relativité dans l’équation de Schrödinger.

Problématique

1. Cette équation de Schrödinger est sous la forme : $i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}|\Psi(t)\rangle=\hat H|\Psi(t)\rangle$.

Pour une particule se déplaçant dans un champ électrique, l'équation prend la forme :

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}\Psi(r,t)=\left[-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+V(r,t)\right]\Psi(r,t)$

En outre, la fonction d'onde exprimée en coordonnées sphériques peut être décomposée en un produit de trois fonctions dont les solutions sont le rayon (nombre quantique $n$), la colatitude relié à l'angle zénital $ \theta$ (nombre quantique $\ell$), la longitude liée à l'angle azimutal $\phi$ (nombre quantique $m_\ell$), ce qui implique forcément leur interdépendance.

$\psi(r,\theta,\phi)=\underbrace{R(r)}_{n}\overbrace{P(\theta)F(\phi)}^{\ell,\;m_\ell}$

2. Nous pouvons voir deux choses dans l'équation de Schrödinger :

  • Paul Dirac
    Paul Dirac (1902-1984)
    elle ne prend pas en compte le spin ;
  • le terme de temps est linéaire, alors que celui de l'espace est quadratique, i.e. au carré : $\nabla^2$ est l'opérateur laplacien qui transforme la position $r$.

3. L'équation de Klein-Gordon, découverte indépendemment par 1926 par Oskar Klein (1894-1977) et Walter Gordon (1893-1939) , version relativiste de l’équation de Schrödinger, avait déjà essayé de résoudre ce problème.

$\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial^2}{\partial t^2}\psi-\nabla^2\psi+\dfrac{m^2c^2}{\hbar^2}\psi=0$.

Équation de Dirac

Hermann Minkowski
Hermann Minkowski (1864-1909)

Paul Dirac proposa une fonction d'onde relativiste (équation de Dirac) qui prenait pleinement en compte la relativité restreinte dans le contexte de la mécanique quantique.

Quadrivecteur

Paul Dirac voulait transformer l'équation de Schrödinger afin de la rendre invariante par l'action du groupe de Lorentz.

En physique relativiste, le temps et l'espace sont reliés par un vecteur espace-temps.

On utilise l'espace de Minkowski, du nom du mathématicien allemand Hermann Minkowski (1864-1909), espace affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte.

  • trois dimensions spatiales classiques $x$, $y$ et $z$ ;
  • une dimension temporelle $t$, multiplié par $c$, la vitesse de la lumière dans le vide.

L'espace de Minkowski est considéré comme un espace plat et sera remplacé par un espace courbe dans la relativité générale d'Albert Einstein en 1912.

On définit donc un quadrivecteur position qui correspond aux coordonnées $(ct,x,y,z)$ qui dépendent toutes du référentiel.

Lorentz et Poincaré
Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)
Jules Henri Poincaré (1854-1912)

Pour l'instant, seul l'espace-temps, qui est mathématiquement un espace de Minkowski en relativité restreinte et un espace courbe quelconque en relativité générale, est invariant quel que soit le référentiel choisi, tandis que ses composantes d'espace et temps en sont des aspects qui dépendent du point de vue, i.e. du référentiel.

1. La transformation de Lorentz est une transformation linéaire des coordonnées d'un point dans l'espace-temps de Minkowski.

Cette transformation donne la relation entre les coordonnées du quadrivecteur dans deux repères inertiels pour que la quantité $(ct)^2-x^2-y^2-z^2$ soit constante.

Les transformations de Lorentz, groupe de Lorentz à 6 paramètres, peuvent toujours s'exprimer par le produit d'une rotation et d'une transformation spéciale de Lorentz (" boost " en anglais, i.e. changement de point de vue).

2. Si l'espace et le temps sont intimement lié en relativité restreinte, l'énergie et l'impulsion le sont aussi et forme un quadrivecteur (cf. le quadrivecteur énergie-impulsion et cameraquadrivecteurs)

Spineurs de Dirac

Si dans l'équation de Schrödinger, la fonction d'onde n'a qu'une seule composante, i.e. un seul vecteur, l'équation de Dirac comporte 4 équations couplées d'un vecteur à 4 composantes (bispineur) liés par des matrices $ 4\times4$. L'équation originale proposée par Dirac est la suivante :

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}\psi(x,t)=\left(\beta mc^2+c\left(\sum\limits_{n=1}^{3}\alpha_np_n\right)\right)\psi(x,t)$

Une version très compacte de cette équation pour un fermion libre est (équation de Dirac) :

$(i\gamma^\mu\partial\mu-mI)\psi=0$, où

  • $\psi$ est le bispineur à quatre composantes ($\psi_1$, $\psi_2$, $\psi_3$, et $\psi_4$), dont deux servent à décrire la particule avec un spin de $\pm\frac{1}{2}$, et les deux autres, l'antiparticule avec un spin de $\pm\frac{1}{2}$,
  • $\gamma_\mu$ ($\mu=0,1,2,3$), les matrices $4\times4$ de Dirac et $I$, la matrice identité.

Les quatre matrices de Dirac sont des matrices gamma, $\{\gamma^0,\;\gamma^1,\;\gamma^2,\;\gamma^3\}$, dans lesquelles $\gamma^0$ est une matrice temporelle et $\gamma^1,\;\gamma^2,\;\gamma^3$ des matrices spaciales.

Les solutions de l'équation de Dirac, équation relativiste, introduisent dans l'équation de Schrödinger :

Spin-orbitales

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible