• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Symétries : quelques définitions

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

Dans le modèle standard, les trois symétries fondamentales, bien qu'on en trouve des violations, sont représentées par :

Décalcomanie  de Magritte
Décalcomanie
(Tableau de René Magritte - 1966 -)

Ces parités sont liées par le théorème $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$.

Quelques définitions sur la symétrie

De manière globale on peut retenir que :

L'invariance des équations de mouvement
$\Leftrightarrow$ Opérateur commute avec l'hamiltonien $[O,H]=0$
$\Leftrightarrow$ l'hamiltonien est symétrique
$\Leftrightarrow$ La quantité est conservée.

Symétrie continue/symétrie discrète

La distinction symétrie continue/symétrie discrète renvoie à la structure mathématique du groupe utilisé pour décrire formellement la symétrie.

Reprenons l'opérateur de transformation $U$ et comme il est unitaire, on peut écrire :

$U=e^{i\epsilon A}$, où $A$ est une matrice hermitienne.

Symétrie continue

Allée des sphinx de Karnak
Allée des sphinx de Karnak
(modèle de translation)

En mathématiques, la continuité est une propriété topologique d'une fonction.

  • La topologie est une branche des mathématiques concernant l'étude des déformations spatiales par des transformations continues (sans arrachages ni recollement des structures).
  • En première approche, une fonction f est continue si, à des variations infinitésimales de la variable x, correspondent des variations infinitésimales de la valeur f(x).
définition

Une symétrie est dite continue si elle est exprimable comme le résultat de plusieurs transformations infinitésimales ($\epsilon\ll1$) :

  • $U=e^{i\epsilon A}\simeq\,$$1+i\epsilon A$,
  • l'observable associée à $A$ est conservée : $[S,A]=0$, i.e. $U$ commute avec la matrice-S,
  • les valeurs propres sont aussi conservées car $\langle f|[S,A]|i\rangle=0$, et donc $(a_f-a_i)\langle f|S|i\rangle=0$, qui implique que $(a_f-a_i)=0$,
  • d'où l'opérateur $A$ est une constante de mouvement.
Mandala
Mandala
(modèle de rotation)

C'est le cas, par exemple (cf. pavages, rosaces et frises) :

1. des translations (opérateur $D$) :

  • dans l'espace : toutes les positions dans l’espace sont physiquement équivalentes, i.e. les propriétés d’un système qui ne subit aucune force externe (système fermé) ne dépendent pas de sa position dans l’espace.
bien

En mécanique quantique, l'impulsion $p$ est conservée et, en généralisant à l'espace-temps, l'énergie-impulsion $p_\mu$ est conservée.

$[D,H]=0\;\Rightarrow[p,H]=0$ et $[p_\mu,H]=0$

  • dans le temps : on retrouve la conservation de l'énergie du système ($t\rightarrow t+\Delta t$).

2. des rotations dans l'espace, groupe de rotation $SO(3)$, où les angles de Euler varient de manière continue.

bien

En mécanique quantique, le moment cinétique (ou angulaire total) $J$ et sa projection $J_z$ sont conservés.

$[R,H]=0\;\Rightarrow[J_z,H]=0$ et comme, un système a symétrie sphérique est invariant par rotation, $[J,H]=0$.

Ces conservations (énergie, quantité de mouvement et moment cinétique) ne sont donc que l’expression, respectivement, de l’homogénéité du temps, de l’espace et l’isotropie de l’espace.

Symétrie discrète

Papillon Vulcain
Papillon Vulcain - symétrie discrète : parité -
(Photo : papillons.info)

En mathématiques, plus précisément en topologie, la topologie discrète sur un ensemble est une structure d'espace topologique où, de façon intuitive, tous les points sont " isolés " les uns des autres. Les objets étudiés en mathématiques discrètes sont des ensembles dénombrables.

définition

Une symétrie est dite discrète lorsque l'ensemble des opérations de transformation autorisées constitue un ensemble fini.

Dans la mécanique quantique, la double action de l'opérateur de transformation laisse le système invariant ce que l'on peut écrire par : $U^2|\psi\rangle$.

  • Si $U$ possède des états propres $|\psi_U\rangle$, alors $U|\psi_U\rangle=\eta_U|\psi_U\rangle$, et $U^2|\psi_U\rangle=(\eta_U)^2|\psi_U\rangle=|\psi\rangle$.
  • Les valeurs propres $\eta_U$ sont : $\eta_U=\pm1$.
  • $U$ est hermitien (ou hermitique) et $\eta_U$ sont les observables.

C'est le cas, par exemple, de la parité (inversion des coordonnées ou symétrie $\mathcal P$), de l'inversion de charge (symétrie $\mathcal C$) ou de l'inversion de temps ((symétrie $\mathcal T$)

Symétrie globale/symétrie locale

Espace-temps
Espace-temps

La distinction symétrie globale/symétrie locale renvoie à la structure physique de la théorie, en indiquant, si la symétrie dont on parle, peut être appliquée en chaque point de l'espace de façon indépendante ou non.

1. La symétrie est dite globale (ou rigide) si, en l'appliquant à tous les points de l'espace-temps, on arrive à une conformation équivalente.

  • Ces symétries nécessitent des lois de conservation, mais pas celle des forces.
  • C'est le cas des lagrangiens, utilisés en physique des particules, invariants pour certaines transformations.

Par exemple, l'action du groupe $U(1)$, $U(1)=e^{iq\theta}$, où $\theta$ est une constante sur le lagrangien de Dirac : $\mathcal L_D=\bar\psi(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi$ qui transforme la fonction $\psi\rightarrow e^{iq\theta }\psi$ en $\bar\psi\rightarrow e^{-iq\theta}\bar\psi$, et donc $\mathcal L\rightarrow\bar{\mathcal L}=\mathcal L$

Isospins
Isospins
(Figure : vetopsy.fr)

2. La symétrie est dite locale si elle agit différemment sur des points de l'espace-temps.

La transformation locale est une transformation de jauge qui transforme le groupe de symétrie en fonction de la variété qui agit différemment selon les points de l'espace-temps : ce peut être une observable, un tenseur or un lagrangien.

Le proton et le neutron, d'après Werner Heisenberg (1901-1976) sont deux particules qui possèdent une symétrie interne qui permit la découverte de l'isospin : on parle aussi de symétries internes.

Quelques exemples :

Groupes de symétries

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible