• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Observables

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

Dans la mécanique classique newtonienne, le vecteur position et la quantité de mouvement décrivent complètement l'état d'un point matériel ($\vec r_M,\vec p_M$).

En d'autres termes, l'état du système, qui décrit tous les aspects de ce système - système dans le sens de partie de l'univers physique choisi pour l'analyse -, permet de déterminer exactement le résultat de mesures qu'on peut y réaliser. Cet état est représenté par un ensemble de grandeurs physiques.

Dans la mécanique quantique, qui est non-déterministe (principe d'incertitude), l'état du système permet seulement de prévoir, de façon toutefois parfaitement reproductible, les probabilités respectives des différents résultats qui peuvent être obtenus à la suite de la réduction du paquet d'onde lors de la mesure.

Observables

États quantiques
États quantiques
(Figure : v etopsy.fr d'après Perrin)

Vue d'ensemble

Une observable (" beobachtbare Grösse " en allemand disait Wernert Heisenberg : quantité observable) est l'équivalent en mécanique quantique d'une grandeur physique (opérateur mesurable ou jauge) en mécanique classique (position, quantité de mouvement, spin, énergie…).

  • Une observable, n'est plus une fonction $f(x,p)$ réelle, mais est un opérateur hermitien $\hat A$ agissant sur un espace de Hilbert $\mathcal H$, et en particulier sur un vecteur de cet espace, chaque vecteur représentant un état quantique.
  • L'opérateur $\hat A$ permet de connaître tous les résultats possibles des observables et leur probabilité dans un système quantique donné, c'est-à-dire que cet opérateur pourra décomposer un état quantique quelconque $\vert\psi\rangle$ - un vecteur quelconque de $\mathcal H$ - en une combinaison linéaire d'états propres, chacun étant un état possible résultant des mesures.

Notation bra-ket

La notation bra-ket - en anglais, crochet -, introduite par Paul Dirac (1902-1984) en 1939, montre bien cet aspect vectoriel.

  • Un élément quelconque de l’espace des états - espace vectoriel complexe des états appelé $\epsilon$ -, associé disons à la fonction $\psi(r)$, est un vecteur " ket " ou ket tout court : il est noté $\vert\psi\rangle$, appelé $ket\,psi$.
  • Il existe un espace dual des états, $\epsilon^\star$, associé aux fonctions complexes conjuguées (qui fait intervenir les conjugués des nombres complexes) des vecteurs de $\epsilon$. Pour tout vecteur ket de $\epsilon$ , correspond un vecteur dual appelé " bra " de $\epsilon^\star$, noté $\langle\phi\vert$, appelé $bra\,psi$.
Paul Dirac
Paul Dirac (1902-1984)

Quelques propriétés sont essentielles.

Soit $\lambda$, un complexe, $\vert\psi\rangle$ un ket de $\epsilon$.

  • $\lambda\vert\psi\rangle$ est aussi un ket : $\vert\lambda\vert\psi\rangle$.
  • le bra associé à $\lambda\vert\psi\rangle$ est $\lambda^\star\langle\psi\vert$, $\lambda^\star$ étant le conjugué de $\lambda$, qu'on peut noter $\langle\lambda\psi\vert$.

Le produit scalaire de deux kets $\vert\psi\rangle$ et $\vert\varphi\rangle$ est noté $\langle\psi\;\vert\;\varphi\rangle$.

  • $\langle\psi\;\vert\;\varphi\rangle=\langle\varphi\;\vert\;\psi\rangle^\star$
  • La loi de Born montre que : $\vert\langle\phi\mid\psi\rangle\vert^2=\vert\langle\psi\mid\phi\rangle\vert^2$.

La normalisation impose que $\langle\psi\;\vert\;\psi\rangle=1$.

L'orthonormalité est donnée par $\langle\psi_i\;\vert\;\psi_j\rangle=\delta_{ij}$, $\delta_{ij}$ étant le symbole de Kronecker.

État quantique

définition

On définit alors l'état quantique comme une distribution de la probabilité associée à chaque observable du système (après la mesure possible sur le système).

  • Un mélange d'états quantiques est encore un état quantique appelé mixte.
  • Les autres sont appelés états quantiques purs.
Niels Bohr et Albert Einstein
Niels Bohr (1885-1962) et Albert Einstein (1879-1955) en pleine discussion

1. Mathématiquement, un état quantique pur peut être donc représenté, à un instant t, par un vecteur dans un espace de Hilbert, représenté sous forme d'un ket : $\vert\Psi(t)\rangle$. Toute grandeur physique ($A$) est représentée par un opérateur hermitien ($\hat A$) agissant sur cet espace.

  • Soient $\vert α_i\rangle$ les vecteurs propres d'un opérateur $\hat A$, si l'état du système à l'instant de la mesure est un vecteur $\vert\psi\rangle$ de l'espace $\mathcal H$, alors ce vecteur admet la décomposition : $\vert\psi\rangle=\sum\limits{_i}c_i\,\vert\alpha_i\rangle$ où $c_i$ sont des nombres complexes.
  • Les états qui s'expriment avant la mesure sous la forme simple $\vert\phi\rangle=c_i\vert\alpha_i\rangle$ sont appelés états propres ou états purs quantiques.

2. L'état quantique mixte d'un système est représenté par la matrice densité $\rho$ (rho) : un état mixte est un mélange statistique d'états purs.

  • Cette matrice densité, découverte par John von Neumann (1903-1957) résume en une seule matrice tout l'ensemble possible des états quantiques d'un système physique donné à un instant donné.
  • Toutes les propriétés du système (valeurs espérées des observables) peuvent être extraites à partir de cette matrice.
John von Neumann et Robert Oppenheimer
John von Neumann (1903-1957) et
Julius Robert Oppenheimer (1904-1967) devant l'EDVAC

Tout état mixte, peut se mettre sous la forme suivante : $\displaystyle\rho=\sum\limits_{i}p_i|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ où les $\displaystyle p_i$ sont les probabilités du mélange statistique, et les $|\psi_i\rangle\langle\psi_i|$ sont les différents états purs du système.

Les différents mélanges d'états purs génèrent des états équivalents, indistinguables physiquement.

Par exemple, la mesure du spin de l'électron dans une direction quelconque (expérience de Stern-Gerlach), donne deux résultats possibles : up et down. L'espace de Hilbert pour le spin de l'électron est donc en deux dimensions.

  • Un état pur ici est représenté par un vecteur complexe à deux dimensions ($\alpha,\beta$), de longueur égale à 1 : $|\alpha|^2|+|\beta|^2=1$, où $|\alpha|$ et $|\beta|$ sont les valeurs absolues de $\alpha$ et $\beta$.
  • Un état mixte, dans ce cas, est une matrice hermitienne $2\times2$, positive et de trace $tr(A)=1$.

Avant la mesure (principe d'incertitude), la théorie ne donne qu'une distribution de probabilité pour le résultat pour l'état pur et l'état mixte.

Fonction d'onde

La représentation d'un état quantique peut être décrit par une fonction mathématique appelée fonction d'onde, $\left\vert\Psi(t)\right\rangle$, donné en respectant les contraintes imposées par les relations d'Heisenberg (principe d'incertitude).

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible