Se pose alors le problème de la simultanéité, i.e. le fait que deux événements se produisent au même moment. Selon la théorie d’Einstein, la durée entre deux événements dépend du référentiel inertiel dans lequel est effectuée la mesure.
Pour arriver à concilier les deux postulats de la relativité restreinte d'Albert Einstein (1879-1955), on doit employer :
L'espace et le temps ne sont plus absolus comme chez Newton : on ne parle donc plus d'espace ou de temps, mais d'espace-temps.
Les longueurs et les durées sont maintenant relatives.
Il faut donc trouver un invariant sous les transformations de Lorentz qui doit être une observable, une grandeur mesurable qui est dépendante du temps et des coordonnées.
Vue d'ensemble
En 1907 et 1908, Hermann Minkowski (1864-1909) introduit l'espace de Minkowski, espace plat affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte.
trois dimensions spatiales classiques $x$, $y$ et $z$ ;
une dimension temporelle $t$, multiplié par $c$, la vitesse de la lumière dans le vide, pour que les unités soient cohérentes ($ct=m/s\times s=m$).
Un événement est un fait qui se produit en un point de l’espace à un instant donné, i.e. c'est un point de l'espace-temps $ct$, $x$, $y$ et $z$, qui dépend de son référentiel " propre ", référentiel galiléen dans lequel l'objet est immobile.
La ligne d'univers d'un objet est le tracé d'un objet lorsqu'il voyage à travers l'espace-temps en 4 dimensions et qui permet de représenter un chemin séquentiel d'événements qui définit l'histoire de l'objet (" temps " attaché à la position).
Changement de référentiel
(Figure : vetopsy.fr d'après
Dr Greg)
La ligne d'univers du photon (rose) est une droite à 45° par rapport à ce repère, puisque l'échelle des deux axes est identique, i.e. $x=ct$.
Un objet immobile suit une ligne verticale, appelée aussi ligne de lumière, car le temps s'écoule.
Une ligne horizontale est une ligne de simultanéité : deux objets sur cette ligne sont situés au même temps.
En outre, on sait, à cause de la dilatation du temps, que $\displaystyle\tau<t$, ce qui veut dire que les échelles de graduations dépendent de l'inclinaison de l'axe.
Pour l'instant, le dessin représente la trajectoire d'un objet.
Dans la mécanique classique, notre bonne vieille terre tourne autour du soleil sur son orbite et est, chaque année, au même point.
Dans la relativité, la ligne d'univers de la terre est représentée comme une hélice dans l'espace-temps qui ne se retrouve jamais au même point puisqu'elle a vieilli d'un an ($x_1=x_0$, mais $ct_1\neq ct_0$).
Changement de référentiel asymétrique
Vue d'ensemble
Pour changer de référentiel, on utilise le plus souvent une représentation asymétrique.
L'un des référentiels est considéré au repos (bleu), alors que l'autre est en mouvement rectiligne et uniforme à vitesse $v$ (orange).
L'axe du temps ($0,ct'$) du repère en mouvement est choisi comme la droite correspondant à la trajectoire de l'objet ($v/t=\beta\cdot ct$), i.e. cela représente le temps écoulé dans ce référentiel pour l'objet.
1. Inclinaison du temps, 2. dilatation du temps
3.
contraction des longueurs
(Figure : vetopsy.fr)
L'axe de l'espace est la droite symétrique par rapport à la ligne d'univers du photon (le photon qui se déplace selon cet axe doit satisfaire $x'=ct'$) : $x'=(c^2/v)t=ct/\beta$.
Les événements situés sur une parallèle à cet axe ont le même âge que l'objet.
Les axes des deux repères forment un angle $\alpha$ tel que : $tan(\alpha)=v/c=\beta$.
Les graduations du nouveau repère ne sont plus identiques au premier et nous sont données par les transformations de Lorentz et dépendent de l'inclinaison de l'axe :
$c\Delta t=\gamma(c\Delta t'+\beta \Delta x')$ ;
$\Delta x=\gamma(c\Delta x'+\beta c\Delta t')$ ;
Plus l'inclinaison est forte, plus les graduations s'espacent.
La graduation est déterminée par l'invariance de l'espace-temps : $c^2t^2-x^2=c^2t'^2-x'^2$.
Les coordonnées d'un point se trouvent par projection classique, parallèlement à l'autre axe du référentiel.
Exemple
On peut illustrer toutes ces notions par un avion se déplaçant en mouvement rectiligne uniforme dans ces repères.
Expression de la simultanéité : diagramme de Minkowski
(Figure :
Acdx)
1. La ligne de simultanéité, i.e. le long de laquelle les points ont le même âge (ligne verte) fait un angle avec celle du repère de base (repère noir).
C'est la visualisation de l'inclinaison du temps qui est, l'angle entre les deux repères $\alpha$ signalé plus haut.
Cela dénote que la simultanéité est différente d'un repère à l'autre.
2. Si on prend deux observateurs éloignés l'un de l'autre (flèches jaune et bleue) dans le repère bleu, ils repèrent chacun quand la queue de l'avion arrive à leur niveau.
$T$ est le temps écoulé entre les deux événements, on voit que $t'\neq t$, et si on reporte $t'$ dans le repère noir, $t'<t$ :
C'est la visualisation de la dilatation du temps.
Sur la figure, il semble que $t'$ est plus grand que $t$, mais c'est oublier que les graduations s'espacent avec l'inclinaison de l'angle entre les repères.
3. Dans le repère noir, l'observateur repère le moment où l'avant de l'avion apparaît (flèche rouge), puis, celui où l'arrière apparaît (flèche bleue).
L'avion est plus petit.
C'est la visualisation de la contraction des longueurs.
Pour ce qui est de la vitesse de la lumière, ces diagrammes permettent aussi de montrer :
Un observateur voyageant plus vite que la lumière pourrait transmettre des informations dans son passé !
Changement de référentiel
symétrique
On peut aussi utiliser un diagramme symétrique (cf. aussi diagramme de Loedel) dans lequel aucun référentiel n'est privilégié (comme l'est le référentiel immobile bleu précédemment).
Les axes des deux repères forment un angle $\beta$ tel que $sin(\beta)=v/c$.
Les graduations sont identiques, contrairement à la représentation asymétrique et donne directement l'invariance de l'intervalle espace-temps. C'est ce qui est montré dans la figure ci-contre et qui nous fait comprendre l'inclinaison du temps.
