• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Principe de relativité
Espace et diagrammes de Minkowsi en relativité restreinte

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

Se pose alors le problème de la simultanéité, i.e. le fait que deux événements se produisent au même moment. Selon la théorie d’Einstein, la durée entre deux événements dépend du référentiel inertiel dans lequel est effectuée la mesure.

Pour arriver à concilier les deux postulats de la relativité restreinte d'Albert Einstein (1879-1955), on doit employer :

bien

On se sert alors des transformations de Lorentz pour passer d'un référentiel à l'autre (cf. exemple).

L'espace et le temps ne sont plus absolus comme chez Newton : on ne parle donc plus d'espace ou de temps, mais d'espace-temps.

  • Les longueurs et les durées sont maintenant relatives.
  • Il faut donc trouver un invariant sous les transformations de Lorentz qui doit être une observable, une grandeur mesurable qui est dépendante du temps et des coordonnées.

Vue d'ensemble

En 1907 et 1908, Hermann Minkowski (1864-1909) introduit l'espace de Minkowski, espace plat affine pseudo-euclidien à quatre dimensions, modélisant l'espace-temps de la relativité restreinte.

  • trois dimensions spatiales classiques $x$, $y$ et $z$ ;
  • une dimension temporelle $t$, multiplié par $c$, la vitesse de la lumière dans le vide, pour que les unités soient cohérentes ($ct=m/s\times s=m$).

C'est ce qu'exprime le fait que le soleil est à huit minutes/lumière de la terre (cf. théories de la relativité restreinte : notion de temps propre, de temps impropre et de simultanéité et la relativité du temps).

Temps propre et mesuré
Temps propre et mesuré
(Figure : vetopsy.fr d'après Dr Greg)

Hermann Minkowski pose, $\Delta s$ est l'intervalle espace-temps :

$\Delta s^2=c^2\Delta t^2-\Delta x^2-\Delta y^2-\Delta z^2=c^2\Delta t^2-\Delta l^2$

Cette invariance est une propriété centrale de la théorie.

attention

Les notions de contraction des longueurs, dilatation du temps et inclinaison du temps ne sont pas facile à visualiser, c'est pourquoi on emploie les diagrammes de Minkowsi.

Diagramme de Minkowski

Référentiel de base

Dans un diagramme de Minkowsi, on trouve :

  • en abscisse, la coordonnée spatiale ($x$),
  • en ordonnée, la coordonnée temporelle ($ct$).

Un événement est un fait qui se produit en un point de l’espace à un instant donné, i.e. c'est un point de l'espace-temps $ct$, $x$, $y$ et $z$, qui dépend de son référentiel " propre ", référentiel galiléen dans lequel l'objet est immobile.

La ligne d'univers d'un objet est le tracé d'un objet lorsqu'il voyage à travers l'espace-temps en 4 dimensions et qui permet de représenter un chemin séquentiel d'événements qui définit l'histoire de l'objet (" temps " attaché à la position).

Changement de référentiel
Changement de référentiel
(Figure : vetopsy.fr d'après Dr Greg)

La ligne d'univers du photon (rose) est une droite à 45° par rapport à ce repère, puisque l'échelle des deux axes est identique, i.e. $x=ct$.

Un objet en mouvement est représenté par une droite inclinée : plus la vitesse est grande, plus elle se rapproche de la diagonale, et ne peut passer de l'autre côté car aucun objet ne peut aller plus vite que la lumière (dans le modèle standard).

  • Un objet immobile suit une ligne verticale, appelée aussi ligne de lumière, car le temps s'écoule.
  • Une ligne horizontale est une ligne de simultanéité : deux objets sur cette ligne sont situés au même temps.
  • En outre, on sait, à cause de la dilatation du temps, que $\displaystyle\tau<t$, ce qui veut dire que les échelles de graduations dépendent de l'inclinaison de l'axe.

Pour l'instant, le dessin représente la trajectoire d'un objet.

  • Dans la mécanique classique, notre bonne vieille terre tourne autour du soleil sur son orbite et est, chaque année, au même point.
  • Dans la relativité, la ligne d'univers de la terre est représentée comme une hélice dans l'espace-temps qui ne se retrouve jamais au même point puisqu'elle a vieilli d'un an ($x_1=x_0$, mais $ct_1\neq ct_0$).

Changement de référentiel asymétrique

Vue d'ensemble

Pour changer de référentiel, on utilise le plus souvent une représentation asymétrique.

L'un des référentiels est considéré au repos (bleu), alors que l'autre est en mouvement rectiligne et uniforme à vitesse $v$ (orange).

  • L'axe du temps ($0,ct'$) du repère en mouvement est choisi comme la droite correspondant à la trajectoire de l'objet ($v/t=\beta\cdot ct$), i.e. cela représente le temps écoulé dans ce référentiel pour l'objet.
  • Inclinaison du temps, dilatation du temps et contraction des longueurs
    1. Inclinaison du temps, 2. dilatation du temps
    3. contraction des longueurs
    (Figure : vetopsy.fr)
    L'axe de l'espace est la droite symétrique par rapport à la ligne d'univers du photon (le photon qui se déplace selon cet axe doit satisfaire $x'=ct'$) : $x'=(c^2/v)t=ct/\beta$.
    • Les événements situés sur une parallèle à cet axe ont le même âge que l'objet.
  • Les axes des deux repères forment un angle $\alpha$ tel que : $tan(\alpha)=v/c=\beta$.

Les graduations du nouveau repère ne sont plus identiques au premier et nous sont données par les transformations de Lorentz et dépendent de l'inclinaison de l'axe :

  • $c\Delta t=\gamma(c\Delta t'+\beta \Delta x')$ ;
  • $\Delta x=\gamma(c\Delta x'+\beta c\Delta t')$ ;
  • Plus l'inclinaison est forte, plus les graduations s'espacent.

La graduation est déterminée par l'invariance de l'espace-temps : $c^2t^2-x^2=c^2t'^2-x'^2$.

Les coordonnées d'un point se trouvent par projection classique, parallèlement à l'autre axe du référentiel.

Exemple

On peut illustrer toutes ces notions par un avion se déplaçant en mouvement rectiligne uniforme dans ces repères.

Simultanéité : diagramme de Minkowski
Expression de la simultanéité : diagramme de Minkowski
(Figure : Acdx)

1. La ligne de simultanéité, i.e. le long de laquelle les points ont le même âge (ligne verte) fait un angle avec celle du repère de base (repère noir).

  • C'est la visualisation de l'inclinaison du temps qui est, l'angle entre les deux repères $\alpha$ signalé plus haut.
  • Cela dénote que la simultanéité est différente d'un repère à l'autre.

2. Si on prend deux observateurs éloignés l'un de l'autre (flèches jaune et bleue) dans le repère bleu, ils repèrent chacun quand la queue de l'avion arrive à leur niveau.

  • $T$ est le temps écoulé entre les deux événements, on voit que $t'\neq t$, et si on reporte $t'$ dans le repère noir, $t'<t$ :
  • C'est la visualisation de la dilatation du temps.

Sur la figure, il semble que $t'$ est plus grand que $t$, mais c'est oublier que les graduations s'espacent avec l'inclinaison de l'angle entre les repères.

3. Dans le repère noir, l'observateur repère le moment où l'avant de l'avion apparaît (flèche rouge), puis, celui où l'arrière apparaît (flèche bleue).

  • L'avion est plus petit.
  • C'est la visualisation de la contraction des longueurs.

Pour ce qui est de la vitesse de la lumière, ces diagrammes permettent aussi de montrer :

Un observateur voyageant plus vite que la lumière pourrait transmettre des informations dans son passé !

Changement de référentiel 
 symétrique

On peut aussi utiliser un diagramme symétrique (cf. aussi diagramme de Loedel) dans lequel aucun référentiel n'est privilégié (comme l'est le référentiel immobile bleu précédemment).

  • Les axes des deux repères forment un angle $\beta$ tel que $sin(\beta)=v/c$.
  • Les graduations sont identiques, contrairement à la représentation asymétrique et donne directement l'invariance de l'intervalle espace-temps. C'est ce qui est montré dans la figure ci-contre et qui nous fait comprendre l'inclinaison du temps.

Retour à la relativité restreinte ou aller à la relativité générale

La gravitation n'est plus une force, mais une " propriété géométrique " de l'espace-temps.

attention

Toutefois, on ne peut plus utiliser l'espace de Minkowski, espace plat, qu'on utilise en relativité restreinte.

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible