• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Fonction d'onde : équation de Schrödinger

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

La fonction d'onde, représentation de l'état quantique d'une particule ou d'un système, est calculée à l'aide de l'équation de Schrödinger.

Erwin Schrödinger
Erwin Schrödinger en 1933

Formulation de l'équation de Schrödinger

La fonction d'onde $|\Psi,t\rangle$ de tout système quantique non-relativiste est une solution de l'équation de Schrödinger dépendante du temps, du nom du physicien autrichien Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887-1961), prix Nobel en 1933

$$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}|\Psi(t)\rangle=\hat H|\Psi(t)\rangle$$

Par exemple, pour une particule quantique libre, la fonction devient :

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}\Psi(r,t)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\Psi(r,t)$

Fonction d'onde gaussienne
Fonction d'onde gaussienne $\Psi$ d'une particule libre initialement très localisée

Pour une particule se déplaçant dans un champ électrique, l'équation prend la forme :

$i\hbar\dfrac{\partial}{\partial_t}\Psi(r,t)=\left[-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+V(r,t)\right]\Psi(r,t)$

1. $\mu$ représente la masse réduite.

  • Pour deux particules de masses $m_1$ et $m_2$, le mouvement de ces deux masses peut être réduit au mouvement d'une seule particule de masse dite réduite $\mu$ : $\mu=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}$
  • Pour l'hydrogène, $\mu=m_e$ : en effet, comme le noyau est beaucoup plus massif que l'électron, on suppose que le centre de gravité du système est confondu avec le noyau, i.e le noyau est supposé fixe et sert de référentiel au mouvement de l'électron.

2. $V$ est l'énergie potentielle (ou coulombienne) de la particule.

Pour l'électron par exemple, $V(r)=-\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r}$

3. $\nabla^2$ est l'opérateur Laplacien relatif aux coordonnées, du nom du mathématicien français Pierre Simon de Laplace (1749-1827).

Pierre Simon de Laplace
Pierre Simon de Laplace (1749-1827)

Cet opérateur différentiel combine et relie la description statique d'un champ (décrit par son gradient, i.e. vecteur représentant la variation d'une fonction par rapport à la variation de ses différents paramètres) aux effets dynamiques (la divergence) de ce champ dans l'espace et le temps

L'opérateur Laplacien est :

  • en coordonnées cartésiennes : $\nabla^2=\dfrac{\partial^2}{\partial_x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial_y^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial_z^2}$
  • en coordonnées sphériques : $\nabla^2=\dfrac{1}{r^2}\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial}{\partial r}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial}{\partial\theta}\right)+\dfrac{1}{r^2\sin^2\theta}\dfrac{\partial^2}{\partial\phi^2}$

Cette équation dynamique de la mécanique quantique est la généralisation de l'équation de l'énergie totale de Louis de Broglie : $E_{totale}=E_{cin}+V(r)=\dfrac{p^2}{2m}+V(t)$.

Cette équation de Schrödinger dépendante du temps prédit que les ondes peuvent former des ondes stationnaires, appelées états stationnaires, qui définit les orbitales par exemple : l'équation est alors indépendante du temps.

$\hat H\Psi=E\Psi=\left[-\dfrac{\hbar^2}{2\mu}\nabla^2+V(r)\right]\Psi(r)$

Coordonnées sphériques et séparation de
l'équation de Schrödinger
Séparation de l'équation de Schrödinger
(Figure : vetopsy.fr)

Solutions de l'équation de Shrödinger 
 indépendante du temps

L’équation de Schrödinger indépendante du temps est une équation différentielle partielle séparable (PDE).

Pour l'hydrogène, exemple le plus simple, l'équation s'écrit :

$E\psi(r)=E_{cin}+V(r)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(r)-\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r}\psi(r)$

L'équation de Schrödinger s'écrit alors en coordonnées sphériques :

$E\psi=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{1}{r^2\sin\theta}\left[\sin\theta\dfrac{\partial}{\partial r}\left(r^2\dfrac{\partial\psi}{\partial r}\right)+\dfrac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\dfrac{\partial\psi}{\partial\theta}\right)+\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial^2\psi}{\partial\phi^2}\right]-\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}\dfrac{e^2}{r}\psi(r)$

La séparation des variables montre que l'équation, avec $Y_{\ell, m_\ell}$ appelée harmonique sphérique, peut s'écrire plus simplement :

$$\psi(r,\theta,\phi)=\underbrace{R(r)}_{n,l}\overbrace{P(\theta)F(\phi)}^{\ell,\;m_\ell}=R_{n,l}(r)Y_{\ell, m_\ell}(\theta,\phi)$$

Si on veut détailler l'expression mathématique de la fonction d'onde de l'hydrogène :

La partie radiale est : $R_{n,\ell}(r)=\sqrt{\left(\dfrac{2}{na_0}\right)^3\dfrac{(n-\ell-1)!}{2n(n+\ell)!}}e^{-\left(\dfrac{r}{na_0}\right)}r^\ell L_{n-\ell-1}^{2\ell+1}(r)$.

La partie angulaire est : $Y_{\ell,m_\ell}(\theta,\phi)=\sqrt{\dfrac{(2\ell+1)}{4\pi}\dfrac{(\ell-m_\ell)!}{(\ell+m_\ell)!}}P^{m_\ell}_\ell(cos\theta)e^{im_\ell\phi}$.

Dans ces expressions :

Spectre atomique de l'hydrogène et série de Balmer
Spectre atomique de l'hydrogène et série de Balmer
(Figure: vetopsy.fr)

L'orbitale est donc définie par les trois premiers nombres quantiques :

C'est cette équation qui a résolu le problème du spectre atomique, caractérisé par l'absorption ou l'émission de certaines longueurs d'ondes, mais pas d'autres.

Pour étudier les spectres atomiques, voir la boite à physique.

bien

Comprendre de manière didactique la relation entre l'équation de Schrödinger et les trois premiers nombres quantiques (hyperphysique : l'atome d'hydrogène).

L'opérateur énergie totale du système ou hamiltonien, est responsable de l'évolution du système dans le temps (application de l'hamiltonien à la fonction d'onde du système qui donne sa dérivée par rapport au temps dans le cadre non relativiste).

Par exemple dans un puits de potentiel, la fonction d'onde d'une particule est une onde sinusoïdale stationnaire dont la longueur d'onde est un multiple de la largeur du puits (loupeparticule dans un puits).

Il faudra attendre 1928 et Paul Dirac (1902-1984) pour introduire le spin dans l’équation de Schrödinger et la généraliser au domaine relativiste (équation de Dirac) et avancer :

Problèmes

La mesure de l'état quantique pose des problèmes identiques à ceux chat de Schrödinger pour mettre en adéquation les principes de la mécanique quantique et de la mécanique classique.

1. L'évolution de la fonction d'onde étant causale et déterministe (postulat 6), et représentant toute l'information connaissable sur un système (postulat 1), pourquoi le résultat d'une mesure quantique est-il fondamentalement indéterministe (postulat 4 et postulat 5) ?

2. L'évolution de la fonction d'onde étant linéaire et unitaire (postulat 6), comment les superpositions quantiques (postulat 1) peuvent-elles disparaître (postulat 5), alors que la linéarité/unitarité mène naturellement à une préservation des états superposés ?

étonnement

Cela implique une clarification et des recherches supplémentaires qui impliquent d'autres théories (gravitation quantique).

Équation de Schrödinger et orbitales

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible