Modèle standard des particules
Fermions : leptons

Les particules élémentaires comprennent :

1. les fermions - spin $1/2 - qui constituent la matière :

• les quarks,
• les leptons ;

2. les bosons, comprenant :

• les bosons de jauge -  spin $1$ - vecteurs de force qui servent de " colle " pour lier la matière,
• le boson de Higgs - boson scalaire de spin $0$ - qui donne une masse aux particules (le graviton est encore hypothétique).

Les mésons, qui font partie des hadrons, comme les baryons, sont aussi des bosons.

Vue d'ensemble des leptons

Généralités sur les leptons

Les leptons - du grec " leptos ", léger - sont des fermions, donc de spin 1/2, qui comprennent 3 saveurs, particules dotées d'une masse et porteuses d'une charge électrique négative (positive pour leur antiparticule) :

• l'électron ($ e^-$), développé dans sa page spéciale,
• le muon ( $\mu^-$),
• le tauon ($\tau^-$).

L'antiparticule de l'électron est appelée positron ($e^+$).

Chaque saveur (électron, muon, tauon) forme un doublet faible avec son neutrino respectif ($\nu$ : nu grec) non chargé et à masse presque nulle :

• le neutrino électronique ou neutrino-électron, $\nu_{\displaystyle e}$,
• le neutrino muonique ou neutrino-muon, $\nu_{\displaystyle\mu}$,
• le neutrino tauique ou neutrino-tau, $\nu_{\displaystyle\tau}$.

$\begin{pmatrix}\nu_e\\e^-\end{pmatrix}\;,\;\begin{pmatrix}\nu_\mu\\\mu^-\end{pmatrix}\;,\;\begin{pmatrix}\nu_\tau\\\tau^-\end{pmatrix}\;$

Ces leptons, comme tous les fermions, se répartissent suivant trois générations qui ne diffèrent l'une de l'autre que par la masse, plus élevée à chaque génération (de gauche à droite sur le tableau).

• Seules les particules de première génération forment la matière ordinaire, i.e. l'électron et son neutrino.
• En effet, les particules de deuxième et troisième générations sont instables et se désintègrent rapidement en particules de première génération, plus légères.

Nombres leptoniques

1. Le nombre leptonique total $L$ est un nombre quantique additif d'un système.

$L=n_{\displaystyle \ell}-n_{\displaystyle\bar \ell}$

• où $n_{\displaystyle \ell}$ est le nombre de leptons ;
• $n_{\displaystyle\bar \ell}$ le nombre d'antileptons.

Le nombre leptonique $L$ est conservé de manière additive, i.e. il y a une invariance par transformation de jauge de l'hamiltonien $H$ :

• $|\psi\rangle\rightarrow|\psi'\rangle=e^{-iL\alpha}|\psi\rangle$ , et donc : $[L,H]=0$.
• Comme $\alpha$ est une constante indépendante, la transformation de jauge est globale.

On donne un nombre leptonique de :

• $L=+1$ aux leptons, $L=-1$ aux antileptons.
• $L=0$ à toutes les autres particules, quarks, hadrons…

Dans la théorie de grande unification (GUT), des baryons peuvent se transformer en leptons (cf. conservation du nombre quantique hypothétique $B-L$), ce qui viole donc la loi de conservation du nombre leptonique et du nombre baryonique.

2. Les nombres leptoniques suivants ont été introduits par la suite pour expliquer certaines désintégrations :

• $L_{\displaystyle e}$, le nombre électronique, $L_{\displaystyle e}=+1$ pour la particule et $L_{\displaystyle e}=-1$ pour l'antiparticule ;
• $L_{\displaystyle\mu}$, le nombre muonique, $L_{\displaystyle \mu}=+1$ pour la particule et $L_{\displaystyle \mu}=-1$ pour l'antiparticule ;
• $L_{\displaystyle\tau}$, le nombre tauique, $L_{\displaystyle \tau}=+1$ pour la particule et $L_{\displaystyle \tau}=-1$ pour l'antiparticule.

Chaque nombre est conservé séparément.

Par exemple, pour $L=-1$, $\bar\nu_{\displaystyle\mu}+p\nrightarrow n+e^+$ est impossible, alors que $\bar\nu_{\displaystyle e}+p\rightarrow n+e^+$ est possible.

• Dans le premier cas, $L_{\displaystyle e}(\bar\nu_{\displaystyle\mu})+L_{\displaystyle e}(p)=0\rightarrow L_{\displaystyle e}(n)+L_{\displaystyle e}(e^+)=-1$.
• Dans le deuxième cas, $L_{\displaystyle e}(\bar\nu_{\displaystyle e})+L_{\displaystyle e}(p)=-1\rightarrow L_{\displaystyle e}(n)+L_{\displaystyle e}(e^+)=-1$.

La conservation de ces nombres leptoniques est approximative car les neutrinos ont une masse, alors qu'elle est nulle dans le modèle standard.

Par exemple, certains muons se désintègrent en électron et en photons : $\mu^-\rightarrow e^-+\gamma$ où $L:1\rightarrow1+0$ et $L_{\displaystyle e}:0\rightarrow1+0$ et $L_{\displaystyle \mu}:1\rightarrow0+0$.

Propriétés des leptons

Les leptons qui sont des fermions (spin demi-entier) :

• suivent la statistique de Fermi-Dirac (théorème spin-statistique), qui décrit leur distribution statistique ;

• 

  sont assujettis au principe d'exclusion de Pauli, qui interdit à tout fermion d'un système d'avoir exactement les mêmes quatre nombres quantiques " intrinsèques " qu'un autre fermion du système.

Par exemple, ce principe limite le nombre d'électrons par couche.

Masse des leptons

1. Dans le modèle standard des particules, la masse des leptons chargés - électron, muon et tau - est donnée par l'interaction avec le boson de Higgs.

Suivre les calculs dans The Standard Model Higgs Boson ou dans Brisure de symétrie et mécanisme de Higgs.

2. Dans le modèle standard des particules, la masse des neutrinos est nulle, i.e. les états propres de masse sont dégénérés par :

• 

  la violation de parité (symétrie $\mathcal P$) de l'interaction faible,
• l'absence de neutrino droit ( chiralité).

Or, d'après les expériences d'oscillations des neutrinos, décrites en 1960 par Bruno Pontecorvo (1913-1993), ceux-ci ont une masse très faible ( chiralité : le neutrino de Dirac et la particule de Majorana).

• Les états de saveurs des neutrinos $\nu_\alpha$ - $\nu_e$, $\nu_\mu$ et $\nu_\tau$ -, qui sont des états propres de l’interaction faible ou états propres de jauge.
• Ces états diffèrent de leurs états propres de masse $\nu_i$ - $\nu_1$, $\nu_2$ et $\nu_3$ -.

C'est la matrice PMNS ou matrice de Pontecorvo–Maki–Nakagawa–Sakata, équivalent pour les neutrinos de la matrice CKM des quarks, qui décrit la probabilité qu’a un neutrino donné de saveur $\alpha$ de se retrouver avec une masse propre $i$.

$\begin{bmatrix}\nu_e\\\nu_\mu\\\nu_\tau\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}U_{e1}&U_{e2}&U_{e3}\\U_{\mu1}&U_{\mu2}&U_{\mu3}\\U_{\tau1}&U_{\tau2}&U_{\tau3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\nu_1\\\nu_2\\\nu_3\end{bmatrix}$

• Cette matrice est l'oeuvre de Ziro Maki, Masami Nakagawa et Shoichi Sakata (1911-1970).

• 

  Comme la matrice CKM, elle est unitaire, possède trois angles de mélange de neutrinos, soit les 3 angles d'Euler ($\theta_{12}$, $\theta_{23}$, $\theta_{13})$ et une phase de violation de la symétrie $\mathcal C\mathcal P$ ($\delta$).

En 2014, les mesures très approximatives sont de 33° pour $\theta_{12}$, 40° pour $\theta_{23}$, 9° pour $\theta_{13}$ et 300° pour $\delta$.

Le mécanisme de seesaw (balançoire ou bascule) prédit que la masse des neutrinos est de l'ordre de l'électronvolt, ce qui renvoie à la physique au-delà du modèle standard.

• La masse du neutrino de Majorama, qui serait supérieure à 10¹⁴ Gev, se retrouverait dans les énergies pour lesquelles les trois forces élémentaires (forte, électromagnétique et faible) seraient unifiées et pourrait expliquer la non-conservation du nombre leptonique et du nombre baryonique et de ce fait, l’asymétrie baryonique de l’Univers, i.e. la prédominance de la matière sur l'antimatière.
• Cela impose qu'il ne peut y avoir de mélanges de leptons de différentes générations, i.e. saveurs, comme il en existe chez les quarks lors de l'interaction faible.

Les dernières expériences montrent que la somme des masses des trois neutrinos ne doit pas dépasser 0,13 eV : un électron a une masse environ 4 millions de fois plus grande (La masse des neutrinos cernée par l'étude des galaxies 2016), ce qui a pour conséquence qu'on est pas près de détecter la particule de Majorama.

Spin des leptons

1. Le spin des leptons est de $ S=1/2$, et sa projection selon l'axe quantique $ z$ est $ m_s\pm1/2$.

2. L'hélicité est la projection du spin $\vec S$ d'une particule sur la direction de son mouvement $\vec p$ (hélicité).

• Les neutrinos ont une hélicité gauche ($\mathcal H=-1$) et leurs antiparticules une hélicité droite ($\mathcal H=+1$).
• On ne trouve pas de neutrinos droits et d'antineutrinos gauches.

3. La chiralité d’une particule ne dépend pas du mouvement de la particule (cf. chapitre spécial).

• En sciences en général, Un objet est dit chiral, si et seulement s'il n’est pas superposable à son image dans un miroir plan (chiralité en chimie).
• En physique, la chiralité est une généralisation aux interactions faibles des particules (de masse non nulle) de l'hélicité des neutrinos : elle caractérise la violation de la parité spatiale dans le lagrangien d'interaction faible.

Contrairement aux particules sans masse, pour les particules massives, la chiralité et l'hélicité ne sont pas identiques, i.e. il y a quatre solutions de l'équation de Dirac. En changeant de repère, les directions du mouvement de la particule peuvent s'inverser alors que sa chiralité est invariante.

• 

  Dans l'électrodynamique quantique ou la chromodynamique quantique, les fermions gauches et droits sont traités de manière identique : la masse est très faible par rapport à l'énergie et les deux termes sont souvent synonymes.
• Dans le modèle standard, les seuls fermions gauches sont soumis à l'interaction faible, les neutrinos droits n'existent pas.

Charge électrique des leptons

1. Les leptons chargés - électron, muon et tau - ont une charge électrique élémentaire égale à $-1$.

Leurs antiparticules ont une charge électrique opposée.

2. Les neutrinos sont neutres, donc ne sont soumis qu'à l'interaction faible et à la gravitation, qui sont négligeables dans les conditions normales, d'où leur fort pouvoir de pénétration.

Isospin faible et hypercharge faible des leptons

Les leptons gauches forment des doublets entre :

• les neutrinos ($\nu_e$, $\nu_\mu$ et $\nu_\tau$), d'isospin faible $T3=+1/2$,
• leurs leptons chargés ($e^-$, $\mu^-$-et $\tau^-$), d'isospin faible $T3=-1/2$.

$$\begin{pmatrix}\nu_e\\e\end{pmatrix}_L\qquad\begin{pmatrix}\nu_{\mu}\\\mu\end{pmatrix}_L\qquad\begin{pmatrix}\nu_{tau}\\\tau\end{pmatrix}_L$$

La charge électrique $Q$, l'isospin faible $T_3$ et l'hypercharge faible $Y^W$ sont liés par une relation semblable à celle de Gell-Mann-Nishijima pour l'hypercharge, pour expliquer diverses théories de l'interaction faible (" weak " en anglais).

$$Q=T_3+\frac {Y^W}{2}\;\iff\;Y_W=2(Q-T_3)$$

L'hypercharge faible est de :

• $Y^W=-1$ pour les doublets de leptons gauches,
• $Y^W=-2$ pour les doublets de leptons droits.

Bosons