• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Modèle standard des particules
Isospin (ou isospin fort)

Sommaire
  1. Mécanique quantique
  2. Modèle standard des particules
    1. Vue d'ensemble
      1. Statistique de Fermi-Dirac
      2. Principe d'exclusion de Pauli
      3. Statistique de Bose-Einstein
      4. Antiparticules
        1. Annihilation particules/antiparticules
        2. Asymétrie baryonique de l'univers
          1. Vue d'ensemble
          2. Baryogenèse
    2. Atome
      1. Noyau
        1. Nucléons
          1. Neutron
          2. Proton
          3. Nombre de nucléons et tableau périodique
          4. Forces intervenant dans le noyau
        2. Structure nucléaire
          1. Modèle de la goutte liquide
            1. Vue d'ensemble
            2. Nombres magiques et vallée de la stabilité
          2. Modèle en couches
          3. Modèle du champ moyen
      2. Électrons
        1. Propriétés des électrons
        2. Orbitales et spin-orbitales
        3. Ionisation et ions
    3. Fermions
      1. Vue d'ensemble
      2. Quarks
        1. Vue d'ensemble
        2. Propriétés des quarks
        3. Saveurs des quarks
      3. Hadrons
        1. Baryons
          1. Vue d'ensemble
          2. Nombre baryonique
          3. Classification des baryons
            1. Baryons stables : nucléons
            2. Baryons instables
              1. Baryons Delta
              2. Baryons Lambda
              3. Baryons Sigma
              4. Baryons Xi
              5. Baryons Oméga
        2. Mésons
          1. Vue d'ensemble des mésons
          2. Propriétés des mésons
          3. Classification et liste des mésons
            1. Kaons
            2. Pions
      4. Leptons
        1. Vue d'ensemble
        2. Nombres leptoniques
        3. Propriétés des leptons
    4. Bosons
      1. Vue d'ensemble
      2. Gluons : bosons de jauge de l'interaction forte
        1. Propriétés des gluons
        2. Échanges de gluons
        3. Autres formes de gluons
      3. Photons : bosons de jauge de l'interaction électromagnétique
        1. Propriétés des photons
        2. Émission et absorpton de photons
        3. Particules et vitesse de la lumière
      4. Bosons W± et Z0 : bosons de jauge de l'interaction faible
      5. Boson de Higgs
        1. Mécanisme de Higgs
        2. Propriétés du boson de Higgs
    5. Réactions nucléaires
      1. Fusion
      2. Fission
      3. Radioactivité
      4. Photodesintegration
      5. Spallation
      6. Multifragmentation
    6. Rayonnements et interactions avec la matière
      1. Diffusion (ou choc)
      2. Rayonnements ionisants
      3. Interactions des rayonnements avec la matière
        1. interactions de photons avec la matière
        2. interactions des particules massives
  3. Interactions ou forces fondamentales
    1. Vue d'ensemble
      1. Interaction nucléaire forte
      2. Interaction électromagnétique
      3. Interaction faible
      4. Gravitation
    2. Comment expliquer que les soient portées par des particules ?
      1. Que se passe-il en mécanique quantique ?
      2. Paramètres libres
        1. Constantes de couplages
        2. Autres paramètres libres
    3. Chromodynamique quantique (QCD)
      1. Charges de couleur
        1. Couleurs des quarks
        2. Couleurs des gluons
        3. Changements de couleurs
      2. Isospin (fort ou spin isobarique)
    4. Électrodynamique quantique (QED)
      1. Vue d'ensemble
      2. Diagramme de Feynmann
    5. Interaction faible
      1. Propriétés de l'interaction faible
      2. Isospin faible
    6. Interaction électrofaible
    7. Gravitation
  4. Modèle de l'univers : Big Bang

Bibliographie

définition

L'isospin (ou spin isobarique), contraction de spin isotopique, est un nombre quantique sans dimension associée au fait que l'interaction forte est indépendante de la charge électrique.

Les formules mathématiques pour décrire l'isospin, sont très similaires à celles utilisés pour décrire le spin, d'où son nom.

livre

Chapitre 5 de Noyaux et modèles.

Vue d'ensemble

Le proton et le neutron possèdent des propriétés analogues, à part leur charge électrique.

  • Leur spin est de $1/2$ et leur masse est proche (différence de 1%).
  • Or, l'interaction forte entre 2 protons (ou 2 neutrons) est identique à celle d'un neutron et d'un proton, et donc indépendant de la charge électrique.

En 1932, Werner Heisenberg (1901-1976) en déduit que le proton et le neutron sont deux états d'une même particule (le nucléon), dont la masse ne diffère que par l'interaction électromagnétique : cette variation est due à un nombre quantique " interne ", appelé isospin.

Isospins
Isospins
(Figure : vetopsy.fr)

Le concept d'isospin ($I$ ou $T$) a été introduit bien avant la découverte des quarks en 1960, modèle qui permet maintenant de comprendre cette notion de symétrie de l'interaction forte.

  • L'isospin est utile pour analyser les interactions mésons/nucléons après la découverte des pions, $\pi^+$, $\pi^0$ et $\pi^-$, particules les plus légères d'isospin $+1$, $0$ et $-1$ de la famille des mésons.
  • L'isospin a été confirmé par la découverte des multiplets d'isospin, i.e. famille de hadrons qui possède à peu près la même masse (kaons, baryons Delta, Sigma…).

Comme pour l'opérateur spin, l'opérateur isospin, noté $I$, a trois coordonnées dans l'espace vectoriel hilbertien, $l_x\,,l_y\,,l_z$.

$[l_i,l_j]=i\hbar\sum\limits_{n=1}^{3}\epsilon_{ijk}l_k$, $\forall i,j,k\;\in\{x,y,z\}$, où $\epsilon_{ijk}$ représente le symbole de Levi-Civita, i.e. indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker et ne prendre que trois valeurs : $-1,\;0,+1$

  • On retrouve donc plusieurs états propres $|I,I_3\rangle$ avec pour observables $I^2$, relié au nombre quantique d'isospin $I$ et $l_3$, valeur propre de $l_z$, projection sur $l_z$.
  • Les valeurs propres $I_3$ sont au nombre de $2I+1$ pour un $I$ donné : $I_3\in \{-I,\;-I+1,\;…,\;I-1,\;I\}$ formant des multiplets d'isospin.

On en déduit que l'état de charge à l'intérieur d'un multiplet d'isospin est déterminé par le seul nombre quantique $I_3$, i.e. qu'il existe une seule matrice diagonalisable faisant partie du groupe spécial unitaire des matrices $2\times2$ : $SU(2)$ (cf. plus bas).

bien

L'isospin $I$ et $I_3$ est conservé dans les interactions fortes, ces nombres quantiques sont conservés de manière additive, i.e. il y a une invariance par transformation de jauge de l'hamiltonien $H$ :

  • Les deux opérateurs matriciels commutent entre eux et avec l'hamiltonien des interactions fortes.
  • $[I^2,I_3]=[I^2,H_{int.fortes}]=[I_3,H_{int.fortes}]=0$.

Par contre, dans les interactions électromagnétiques, si $[I^2,H_{elec.magn.}]\ne0$, $[I_3,H_{elec.magn.}]=0$. Dans les interactions faibles, $[I^2,H_{int.faibles}]=[I_3,H_{int.faible}]\ne0$.

Soit, par exemple, les quatre baryons $\Delta$ qui contiennent chacun un triplet de quarks up/down, comme les nucléons : ils possèdent à peu près la même masse et leur spin est de $ S=3/2$.

  • Comme leur composition en quarks up - $q=+2/3$ - et down - $q=-1/3$ - est différente, leur charge électrique varie. On peut alors considérer que c'est la même particule, mais avec des charges différentes  - $\Delta^{++}$ (uuu), $\Delta^+$ (uud), $\Delta^0$ (udd) et $\Delta^-$ (ddd) -.
  • Comme il y a quatre $\Delta$, il faut quatre projections différentes.
  • On attribue à chaque chaque $\Delta$ un isospin " total " $I=3/2$, mais avec des projections $I_3$ incrémentées de $1$, soit 4 projections : $l_3=3/2,1/2,-1/2,-3/2$. Le quadruplet du $\Delta$ possède donc comme états propres :

$|\Delta^{++}\rangle=\left|\dfrac{3}{2},\dfrac{3}{2}\right\rangle\quad|\Delta^{+}\rangle=\left|\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}\right\rangle\quad|\Delta^{0}\rangle=\left|\dfrac{3}{2},-\dfrac{1}{2}\right\rangle\quad|\Delta^{-}\rangle=\left|\dfrac{3}{2},-\dfrac{3}{2}\right\rangle$

Cela veut dire que les quatre $\Delta$ et les deux nucléons peuvent être considérés comme les différents états d'une même particule : les $\Delta$ peuvent être vus comme des états excités des nucléons.

Valeurs de l'isospin

Dans le modèle des quarks, la relation qui unit la projection des isospins est :

$ l_3=\dfrac{1}{2}\left[(n_{\displaystyle u}-n_{\displaystyle\bar u})-(n_{\displaystyle d}-n_{\displaystyle\bar d})\right]$

  • où $n_{\displaystyle u}$ et $n_{\displaystyle d}$ sont les nombres de quarks up et down,
  • $n_{\displaystyle\bar u}$ et $n_{\displaystyle\bar d}$, le nombre d'antiquarks up et down.

On en déduit que :

  • $I_3=+1/2$ pour les quark up,
  • Octet des baryons
    Octet des baryons
    $I_3=-1/2$ pour les quark down,
  • $I_3=0$ pour les autres quarks.

Quelle que soit la saveur des quarks, l'isospin est invariant pour les hadrons.

La nomenclature des hadrons (baryons et mésons) est basée sur l'isospin.

  • $I=3/2$ pour les baryons $\Delta$ ;
  • $I=1$ pour les baryons $\Sigma$ ou des mésons comme les pions… ;
  • $I=1/2$ pour les nucléons, $I_3=-1/2$ pour le neutron et $I_3=+1/2$ pour le proton mais aussi pour d'autres baryons ($\Xi$) ou des mésons (K, D…) ;
  • $I=0$ pour les baryons $\Lambda$… ou les mésons $\eta$…

Soit un noyau avec $ N$ nucléons, $ 0\le I\le N$ par combinaison de l'isospin de chaque nucléon (même calcul que le spin).

  • Chaque $I$ donnera une projection $I_3$ telle que $-I\le I_3\le+I$, d'où $2I +1$ valeurs possibles : on se retrouve avec des états singulets, des états triplets, bref des multiplets isospin.
  • $I_3$ est une constante telle que $I_3=(Z-N)/2$ et plusieurs isospins pourront correspondre à cette valeur $I_3$, i.e. différents éléments chimiques : c'est l'origine du terme spin isobarique appliqué à l'isospin. Ces différents niveaux seront appelés états isobariques analogues.

En outre, les niveaux d'isospin $I$ ont tous la même énergie, quel que soit $I_3$, i.e. ils sont dégénérés : on trouve aussi un état fondamental du noyau d'isospin $I=I_3$.

De plus, il faut utiliser le principe de Pauli généralisé qui impose que $L+S+I$ soit impair.

Relation avec l'hypercharge et les saveurs

Kazuhiko Nishijima
Kazuhiko Nishijima (1926-2009)

La charge électrique est liée à l'isospin $I$.

En effet, dans les interactions électromagnétiques, si $[I^2,H_{elec.magn.}]\ne0$, $[I_3,H_{elec.magn.}]=0$.

D'autres charges interviennent et $Y$, appelée hypercharge, est liée à d'autres nombres quantiques par la formule : $Y=B+S+C+B′+T$ dans laquelle :

L'isospin peut être considéré comme un nombre quantique de saveur.

La relation est : $Q=I_3+\dfrac{Y}{2}$, selon la formule de Gell-Mann–Nishijima généralisée, et comme, dans un multiplet d'isospin, $\sum I_3=0$, alors, $Y=2Q$.

$Q$ est la charge moyenne des particules qui forment le multiplet, notée aussi $\bar Q$.

Comme $[I_3,H_{elec.magn.}]=0$ et $[Q,H_{elec.magn.}]=0$, alors $[Y,H_{elec.magn.}]=0$

Symétrie d'isospin

Le nombre d'isospin est relié au groupe de symétrie " approximative " de rotation $SU(2)$ de l'hamiltonien des interactions fortes : les différentes particules qui subissent ces interactions sont des représentations de $SU(2)$ - Representation Theory of SU (2) and SU (3) -.

  • On se sert des matrices de Pauli qui agissent dans l'espace de Hilbert des isospins, et pas dans celui des spins, d'où le terme $\tau$ plutôt que $\sigma$.
  • On la multiplie par $1/2$ : $I_3=\frac{1}{2}\tau_3$ où, $\tau_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$.
Harald Fritzsch et Murray Gell-Mann
Harald Fritzsch et Murray Gell-Mann

Soit un système de deux particules, une à $I=1$, un pion par exemple, et une à $I=1/2$, un nucléon par exemple, on trouve : $1\otimes1/2=1/2\oplus3/2$. on dit que :

  • le produit de la représentation $SU(2)$ correspondant à l'isospin $1$ et à $1/2$ est la somme des représentations correspondant aux isospins $1/2$ et $3/2$,
  • ou la combinaison d'isospin $1$ et $1/2$ se comporte soit comme un isospin $1/2$, soit $3/2$ dans les rotations de l'espace des isospins.

En généralisant aux $2I+1$ valeurs possibles de $I$, on peut écrire : $ 3\otimes2=2\oplus4$.

Mais cette symétrie d'isospin est un sous-ensemble de la symétrie de rotation de saveur observée $SU(3)$ dans les interactions des baryons et des mésons.

L'étude de cette symétrie a conduit à la découverte et la compréhension des quarks et du développement de la théorie de Yang-Mills.

Isospin faible

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible