• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Moments angulaires : moment angulaire orbital ($L$)

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

bien

Dans les deux mécaniques, classique et quantique, le moment angulaire (ou cinétique) est l'une des trois propriétés fondamentales du mouvement avec la quantité de mouvement et l'énergie.

La notion de moment angulaire regroupe plusieurs opérateurs qui ne doivent pas être confondus en mécanique quantique.

Moment angulaire
Force (F), quantité de mouvement (p)
et moment angulaire (L)

En outre, le moment magnétique est défini comme le vecteur reliant le moment angulaire que subit un objet à l’application d'un champ magnétique externe.

Moment angulaire orbital

En mécanique classique, le moment angulaire - ou cinétique -, $\vec L$, est exprimé en fonction des diverses composantes des vecteurs position et quantité de mouvement $( \vec L=\vec r\times\vec p)$.

  • Le moment angulaire (ou cinétique) $L$ d'un point matériel $M$ par rapport à un point $O$ correspond au moment de la quantité de mouvement $\vec p$ par rapport au point $O$, i.e. le produit vectoriel $\vec {OM}\wedge\vec p$ ou $\vec L=\vec r\wedge\vec p$ où $\vec r$ est le vecteur position et $\wedge$ est appelé produit extérieur. Ses unités sont M.L2.T-1.
  • Ce qui donne : $\vec L=\vec r\times\vec p=mrv\vec v$.

Ce film de démonstration montre ce qu'est un moment angulaire (cameranfos).

La mécanique analytique utilise des coordonnées généralisées, en particulier dans la mécanique lagrangienne et surtout, dans la mécanique hamiltonienne dont le rôle est de simplifier les équations.

Orbitales de l'atome d'hydrogène
Orbitales de l'atome d'hydrogène

La direction de la quantité de mouvement permet aussi de définir l'hélicité d'une particule, i.e. projection du spin $\vec S$ d'une particule sur la direction de son mouvement $\vec p$.

Vue d'ensemble

En mécanique quantique, le moment angulaire orbital doit être réinterprété en fonction des opérateurs.

Dans la mécanique quantique, un opérateur décrit une application linéaire d'un espace de Hilbert dans lui-même. Une observable est un opérateur hermitien (cf. table des opérateurs)

1. $r$ est l'opérateur de position, qui représente l'observable position de l'état quantique d'une particule $\hat x\psi(x)=x\psi(x)$.

L'accent circonflexe au-dessus du $x$ à gauche indique un opérateur, de sorte que cette équation peut être lue comme le résultat de l'action de l'opérateur $x$ sur une fonction quelconque $\psi(x)$ égale $x$ multiplié par $\psi(x)$, ou tout simplement, l'opérateur $x$ multiplie une fonction quelconque $\psi(x)$ par x.

2. $p$ est l'opérateur d'impulsion qui agit sur la fonction d'onde $\psi(r,t)$ pour en extraire ses valeurs propres : $\hat p=-i\hbar\nabla$.

3. $L$ devient l'opérateur de mouvement orbital angulaire essentiel en mécanique quantique en particulier dans les symétries de rotation.

Sophus Lie
Sophus Lie (1842-1899)

$L$ est un opérateur vecteur $ L=(L_x,L_y,L_z)$ dont les trois opérateurs ont des relations de commutation qu'on peut écrire sous la forme :

  • $[L_i,L_j]=i\hbar\sum\limits_{n=1}^{3}\epsilon_{ijk}L_k$, $\forall i,j,k\;\in\{x,y,z\}$,
  • où $\epsilon_{ijk}$ représente le symbole de Levi-Civita, i.e. indicateur antisymétrique d'ordre 3 qui peut être exprimé à partir du symbole de Kronecker et ne prendre que trois valeurs : $-1,\;0,+1$

Des commutations identiques peuvent être effectuées sur :

Conséquences

Ces relations de commutation signifient que $L$, $S$ et $J$ ont une structure mathématique d'algèbre de Lie, et que les $_{ijk}$ de $\epsilon$ sont ses constantes, ce qui implique 2 conséquences majeures.

1. Dans ce cas, la symétrie de groupe moment angulaire orbital $R_{spatial}$ est le groupe de rotation $SO(3)$.

attention

Le spin, $R_{interne}$ et le moment angulaire total $(R)$ sont de symétrie $SU(2)$.

Werner Heisenberg et Niels Bohr
Werner Heisenberg (1901-1976) et
Niels Bohr
(1885-1962)

2. En outre, deux observables non commutatives ne peuvent être mesurées en même temps suivant le principe d'incertitude.

  • C'est le cas de $L_x$ ou $L_y$ quand on mesure $L_z$ par la relation : $\sigma_{L_x}\sigma_{L_y}\le\hbar/2|\langle L_z\rangle|$.
  • La même chose est vraie de $J$ et $S$.

Par contre, il est possible de mesurer (simultanément) :

Pour une valeur donnée de $\ell$, la représentation matricielle est $(2\ell+1)$. La représentation tridimensionnelle du groupe de rotation $SO(3)$ qui correspond à $\ell=1$ est donnée par les générateurs :

  • $L_x = \begin{pmatrix}0&0&\phantom{-}0\\0&0&-1\\0&1&\phantom{-}0\end {pmatrix}\;,\;L_y = \begin{pmatrix}\phantom{-}0&0&1\\\phantom{-}0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}\;,\;L_z = \begin{pmatrix}0&-1&0\\1&\phantom{-}0&0\\0&\phantom{-}0&0\end{pmatrix}$
  • Hendrik Casimir
    Hendrik Casimir
    L’invariant quadratique (opérateur de Casimir), du nom du physicien néerlandais Hendrik Casimir (1909-2000) est donc : $L^2=L_x^2+L_y^2+L_z^2=2\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$, si $\ell(\ell+1)=2$.

3. Dans un système polyélectronique, les moments angulaires de chaque électron se combinent.

Soit deux électrons $(1\;,2)$, dont les opérateurs de mouvement sont $l_1$ et $l_2$, la conservation du moment angulaire du système oblige à écrire :

  • $|l_1-l_2|\le L\le l_1+l_2$, tel que $|L|^2=L(L+1)$.
  • Les deux valeurs qui encadrent $L$ correspondent aux valeurs minimale et maximale de $|L|$ que l'on peut construire sous forme vectorielle.
  • Le $L_{max}$ est important pour la spectroscopie et correspond à la valeur maximale de la projection de $\vec L$, soit la valeur maximale de $M_L$, ce qui va définir le terme spectroscopique (cf. exemples).

$L_{max}=M_{Lmax}=l_{1max}+l_{2max}$

  • Moment angulaire orbital
    Moment angulaire orbital
    $L$ peut varier entre ses bormes par valeur entière.
  • Pour chaque valeur de $L$, $m_\ell$ varie entre $-L$ et $+L$.

Représentation vectorielle

Normalement, les vecteurs des moments angulaires ne peuvent être représentés comme en mécanique classique - principe d'incertitude - (cf. modèle vectoriel de l'atome).

On les représente par un vecteur, partant de l'origine et de longueur constante selon l'axe quantique classique $z$, qui décrivent un cône droit, sans sa base circulaire. On sait que si $L_z$ est connu, $L_x$ et $L_y$ ne le sont pas (cf. plus haut).

  • Didactiquement, on représente les nombres quantiques $\ell=2$ et les valeurs de $m_\ell$ correspondantes (-2, -1, 0, +1, +2) par 5 cônes.
  • Les vecteurs ont tous comme longueur $|L|=\sqrt L^2=\hbar\sqrt 6$.

Moment angulaire intrinsèque ou spin

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible