• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mécanique quantique
Rappels de mécanique analytique

Sommaire
  1. Mathématiques
  2. Mécanique quantique
    1. Dualité onde-corpuscule
      1. Un peu d'histoire
        1. Max Planck
        2. Albert Einstein
        3. Louis de Broglie
      2. Pourquoi garde-t-on alors les modèles classiques ?
    2. Relativité
      1. Relativité avant Einstein
        1. Aristote
        2. Moyen-âge
        3. Giordano Bruno
        4. Galileo Galilei
        5. Isaac Newton
        6. Maxwell
        7. Recherche éther désespérement
          1. Expérience de Michelson-Morley
          2. Équations de Voigt
          3. Olivier Heaviside et George Francis FitzGerald
          4. Hendrik Antoon Lorentz
          5. Jules Henri Poincaré
      2. Relativité restreinte
        1. Annus mirabilis (1905)
          1. Articles
          2. Controverse sur le paternité de la relativité
        2. Postulats de la relativité retreinte
        3. Conséquences
          1. Abandon de l'éther
          2. Problème de la simultanéité
            1. Vue d'ensemble
            2. Exemples
          3. Espace-temps en relativité restreinte
            1. Espace de Minkowsi
            2. Diagrammes de Minkowski
    3. Champs en physique
      1. Champs en physique classique
      2. Champs en physique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Théorie quantique des champs
        3. Diagrammes de Feynmann
    4. Rappels de mécanique classique newtonienne
    5. Rappels de mécanique analytique
      1. Vue d'ensemble
      2. Formulation lagrangienne
      3. Formulation hamiltonienne
        1. Vue d'ensemble
        2. Impulsion généralisée
      4. Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs
    6. Moments en mécanique quantique
      1. Moments angulaires
        1. Moment angulaire orbital
          1. Vue d'ensemble
          2. Conséquences
          3. Représentation vectorielle
        2. Spin
          1. Notions de spin
            1. Expérience de Stern et Gerlach
            2. Opérateur de spin
            3. Symétrie de spin
          2. Nombre quantique de spin $s$
            1. Valeurs du spin
            2. Spin des particules élémentaires
            3. Spin des particules composées
          3. Applications du spin
            1. Modèle standard des particules
            2. Spintronique
            3. Résonance magnétique
        3. Moment angulaire total
      2. Moments magnétiques
        1. Moment magnétique orbital
        2. Moment magnétique de spin
        3. Moment magnétique total
    7. Nombres quantiques
      1. Nombres quantiques " intrinsèques "
        1. Nombre quantique principal $n$
        2. Nombre quantique secondaire ou azimutal $\ell$
        3. Nombre quantique tertiaire ou magnétique $m_\ell$
        4. Nombre quantique de spin $s$
      2. Autres nombres quantiques
    8. Postulats de la mécanique quantique
      1. Postulat I : principe de superposition
      2. Postulat II : principe de correspondance
        ou description quantique d'une grandeur physique
      3. Postulat III : principe de quantification
        ou valeurs possibles d'une observable
      4. Postulat IV : décomposition spectrale ou
        interprétation probabiliste de la fonction d'onde
      5. Postulat V : réduction du paquet d'onde
      6. Postulat VI : évolution temporelle de l'état quantique
    9. Principe d'incertitude
      1. Relations d'Heisenberg
      2. Interprétations de la mécanique quantique
        1. Vue d'ensemble
        2. Chat de Schrödinger
    10. Observables
      1. Vue d'ensemble
      2. Notation bra-ket
    11. État quantique
      1. État quantique pur
      2. État quantique d'un système
    12. Fonction d'onde
      1. Vue d'ensemble
      2. Équation de Schrödinger
        1. Formulation de l'équation de Schrödinger
        2. Solutions de l'équation de Schrödinger
        3. Problèmes
      3. Équation de Schrödinger et orbitales
        1. Atome d'hydrogène
          1. Équation de Schrödinger et atome d'hydogène
          2. Formes des orbitales
        2. Hydrogénoïdes
        3. Atomes polyélectroniques
          1. Hamiltonien du système
          2. Règles de Slater
      4. Équation de Dirac
      5. Interactions spin-orbite
        1. Spin-orbitales
        2. Micro-états
        3. Couplage spin-orbite
          1. Vue d'ensemble
          2. Couplage LS
          3. Couplage JJ
          4. Couplage nucléaire
        4. Applications du couplage spin-orbite à la configuration électronique
          1. Multiplicité de spin ($2S+1$)
          2. Termes spectroscopiques
          3. Exemples de configurations électroniques
          4. Règles de Hund
    13. Symétries
      1. Vue d'ensemble
        1. Symétries et invariances
        2. Brisures de symétrie
        3. Lois de conservation
      2. Quelques définitions
        1. Symétrie continue/symétrie discrète
        2. Symétrie globale/symétrie locale
      3. Groupes de symétrie
        1. Groupe spécial unitaire SU(n)
        2. Groupes de jauge
        3. Symétries exactes
          1. $U(1)$
          2. $SU(3)$
        4. Symétries pouvant être brisées
          1. $SU(2)$
          2. $SU(2)\times U(1)$
          3. $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$
      4. Parité ou symétrie $\mathcal P$
        1. Opérateur parité
        2. Parité de la fonction d'onde
        3. Parité intrinsèque
        4. Violation de la parité
      5. Hélicité et chiralité d'uen particule
        1. Hélicité
        2. Chiralité
          1. Démonstration
          2. Masse des neutrinos et particule de Majorana
      6. Autres symétries
        1. Symétrie $\mathcal C$
        2. Symétrie $\mathcal G$
        3. Symétrie $\mathcal C\mathcal P$
        4. Symétrie $\mathcal T$
        5. Symétrie $\mathcal C\mathcal P\mathcal T$
  3. Modèle standard des particules
  4. Interactions fondamentales ou élémentaires

Bibliographie

attention

Ces pages rappellent très succinctement la mécanique classique et analytique pour pouvoir se faire une idée du modèle standard des particules élémentaires.

Vous pouvez vous reporter grâce aux liens à tous les articles de Wikipedia ou d'autres sites qui pourront vous emmener plus loin.

bien

Pour tout savoir sur la mécanique analytique.

Pendule double
Pendule double
(Figure : vetopsy.fr)

Le but de la mécanique analytique est de simplifier et de généraliser la mécanique newtonienne, en particulier dans les systèmes où les mouvements sont sujets à des contraintes ou à des perturbations.

  • Pour illustrer ces problèmes, un cas instructif classique de contrainte et simple à résoudre, est celui du double-pendule.
  • La mécanique analytique permet de ne pas tenir compte des inconnues qui compliquent le problème en employant des coordonnées soumises à aucune contrainte.

La théorie des perturbations est un domaine des mathématiques, qui consiste à étudier les contextes où il est possible de trouver une solution approchée à une équation en partant de la solution d'un problème plus simple.

Par exemple, on cherche une solution approchée à une équation $E_\lambda$, dépendante d'un paramètre $\lambda$, sachant que la solution de l'équation $E_0$, correspondant à la valeur $\lambda=0$, est connue exactement.

Vue d'ensemble

La mécanique analytique étudie l'évolution des degrés de libertés d'un système complexe, et ne s'appuie plus sur le point matériel de Newton, dans ce qu'on appelle un espace de configuration

C'est une méthode variationnelle qui ne précise pas à chaque instant le mouvement de la particule mais où l'on donne comme condition à l'intégrale portant sur l'ensemble du mouvement d'être extrémale : on recherche une courbe de longueur minimale (ou extrémale), autrement dit une géodésique.

Les coordonnées généralisées, qui peuvent ne pas correspondre à des coordonnées cartésiennes, d'où leur nom, - positions relatives, mais aussi, des angles… - sont des coordonnées indépendantes des contraintes et définissent de manière univoque l'état mécanique du système qui supporte les contraintes.

  • Mouvement du pendule double
    Mouvement du pendule double
    Ces coordonnées sont notées $q_i$, $\{q_1, q_2,...q_n\}$ avec $n\leqslant 3N$, où N est le nombre de points permettant de décrire le système.
  • Le mouvement pourra être calculé en utilisant une équation différentielle pour chacune de ces coordonnées.

Dans le cas du double pendule, seuls deux variables indépendantes, les angles $\theta_1$ et $\theta_2$ suffisent à décrire le mouvement du système : on ne prendra en compte que ces deux coordonnées généralisées contre 6 pour la position des deux masses.

Formulation lagrangienne

On peut alors utiliser la mécanique lagrangienne, du nom de Joseph-Louis Lagrange (1736–1813).

En mécanique lagrangienne, le lagrangien $\mathcal L[\varphi_i]$ d'un système dynamique est une fonction des variables dynamiques qui permet d'écrire de manière concise les équations du mouvement du système.

  • Si les coordonnées généralisées des particules sont $\{q_i\}_{i=1,2,...,N}$ et leurs vitesses, $\{\dot{q}_i\}_{i=1,2,...,N}$ avec $\dot{q}_i=\dfrac{dq_i}{dt}$, alors la fonction s'écrit : $\mathcal L(q_i,\dot{q}_i,t)$
  • Joseph-Louis Lagrange
    Joseph-Louis Lagrange (1736–1813)
    L'action sur le système est alors, entre les temps $t_1$ et $t_2$ entre $q(1)$ et $q(2)$ qui sont les valeurs initiales et finales des coordonnées généralisées : $S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\;L (q_i,\dot{q}_i,t)dt$.

Le principe variationnel (principe de moindre action) postule le caractère extrémal d'une intégrale calculée sur la trajectoire.

  • Cette fonction ne dépend que de positions et de vitesses (d'ordre 2, par rapport au temps)
  • Elle prend en compte les positions initiales et finales de chaque coordonnée (et le temps), et non les positions et les vitesses initiales.

Prenons deux trajectoires possibles entre $q(1)$ et $q(2)$, la première est $q_i(t)$, la deuxième ne variant que de $\delta q_i(t)$ de la précédente. Les trajectoires obéissant aux mêmes positions initiales et finales : $\delta q(1)=\delta q(2)=0$.

  • La variation $\delta S$ de l'action est : $\delta S=\int\limits_{t_1}^{t_2}\;(L (q_i+\delta q_i, \dot{q}_i+\dot{q}_it,t)-L (q_i,\dot{q}_i,t))dt$.
  • En développant (cf. démonstration), on trouve : $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)=\dfrac{\partial L}{\partial q_i}$, si $(1\leqslant i\leqslant n)$, c'est-à-dire les équations d'Euler-Lagrange.

Si les coordonnées généralisées correspondent aux coordonnées cartésiennes, alors : $\nabla_{r\alpha}L=d\nabla{v_\alpha}L/dt$, en faisant intervenir les opérateurs laplaciens par rapport aux positions et aux vitesses des particules.

Jean Le Rond d’Alembert
Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783)

On peut voir, dans l'expression de la fonction de Lagrange d'une particule unique libre (p: 24 de la mécanique analytique), la démarche à utiliser pour déterminer la forme du lagrangien : propriétés des symétries, règles de la relativité galiléenne, recherche de la forme la plus simple en cas d'ambigüité.

On peut utiliser le principe de d'Alembert, de l'encyclopédiste Jean Le Rond d’Alembert (1717-1783) pour arriver au même résultat, i.e. l'ensemble des forces de contrainte d'un système ne travaille pas lors d'un déplacement virtuel.

  • $L=T-U$ avec $p_i=\dfrac{\partial T}{\partial\dot q_i}$ et $\mathcal F=-\dfrac{\partial U}{\partial q_i}$, $p_i$ et $\mathcal F$, étant respectivement l'impulsion et le champ de force dans un espace cartésien et $T$ l'énergie cinétique et $U$ l'énergie potentielle.
  • Alors, $p_i=\dfrac{\partial L}{\partial\dot q_i}$ et $\mathcal F=\dfrac{\partial L}{\partial q_i}$ car $p$ ne dépend pas de la position ($U=0$), et $\mathcal F$ de la vitesse ($T=0$).

Formulation hamiltonienne

Vue d'ensemble

La mécanique hamiltonienne, du nom de William Rowan Hamilton (1805-1865) est équivalente à la mécanique lagrangienne, mais est plus commode à utiliser et bien plus puissante.

  • William Rowan Hamilton
    William Rowan Hamilton (1805-1865)
    Les équations de Lagrange sont des équations différentielles du second ordre portant sur la position et le temps, et pas forcément faciles à résoudre.
  • Les équations d'Hamilton transforment celles de Lagrange en deux équations différentielles du premier ordre, reliant position et impulsion qui s'intègrent bien plus facilement et permettent les changements de variables.
  • En outre, elles prennent en compte les perturbations, comme dans le cas de la mécanique céleste (action des autres planètes), mais aussi, et surtout, de formuler la mécanique classique qui peut être quantifiée.

Impulsion généralisée

En mécanique hamiltonienne, on remplace la vitesse généralisée par la quantité de mouvement associée, appelée moment conjugué ou impulsion généralisée :

$$p_i=\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial\dot{q}_i}$$

La notion de moment conjugué correspond à celle de la quantité de mouvement de la particule que si les coordonnées généralisées coïncident avec les coordonnées cartésiennes ET en l'absence de champ électromagnétique.

La quantité de mouvement et l'impulsion ne recouvrent pas les mêmes notions en mécanique analytique : dans un champ électromagnétique, il faut ajouter le vecteur potentiel (qui dépend de la charge de la particule), ce que nous retrouverons plus bas dans les énergies.

Fonctions d'onde
Fonctions d'onde symétrique (2 bosons)
et antisymétrique (2 fermions)
(Figure : vetopsy.fr d'après TimothyRias)

Dans le cas d'une particule chargée en mouvement dans un champ électromagnétique, impulsion et quantité de mouvement diffèrent en raison d'un terme en $q\vec A$ dû au potentiel vecteur, q étant la charge de la particule. L'analogue " angulaire " du moment linéaire est le moment angulaire généralement confondu avec le moment cinétique.

En mécanique quantique, $p$ est l'opérateur d'impulsion qui agit sur la fonction d'onde $\psi(r,t)$ pour en extraire ses valeurs propres : $\hat p=-i\hbar\nabla$.

Les équations de Lagrange s'écrivent alors : $\dot{p_i}=\dfrac{\partial\mathcal L}{\partial q_i}$.

La différentielle du lagrangien est : $dL=\sum\limits_{i}p_id\dot q_i+\sum\limits_{i}\dot p_idq_i$.

  • L'hamiltonien $H$ est la transformée de Legendre -  opération mathématique qui, schématiquement, transforme une fonction définie par sa valeur en un point en une fonction définie par sa tangente - du lagrangien s'écrit : $H=\sum \limits_ip_i\dot q_i-L$.
  • Sa dérivation est : $dH=\sum\limits_{i}\dot q_idp_i-\sum\limits_{i}\dot p_idq_i$.

Les équations d'Hamilton, correspondant aux équations de Lagrange, définissent l'opérateur d'évolution du système : $\dot q_i=\dfrac{\partial H}{\partial p_i}$ et $\dot p_i=-\dfrac{\partial H}{\partial q_i}$.

Ces équations différentielles sont du premier ordre par rapport aux lagrangiennes du second ordre.

  • Les conditions initiales sont des positions et des impulsions, contre des positions et des vitesses dans les équations de Lagrange.
  • Ces équations sont symétriques.
  • Si $q_i$ est cyclique, alors p_i est une constante du mouvement, i.e. dans l'espace de phase, la trajectoire suivie est tangente aux surfaces égalisant l'hamiltonien.

Dans un système conservatif, (coordonnées généralisées indépendantes du temps t), on peut montrer que : $H=E=T+V$ où $E$ est l'énergie totale, somme de l'énergie cinétique $T$ et de l'énergie potentielle $V$.

Siméon Denis Poisson
Siméon Denis Poisson (1781-1840)

Crochets de Poisson, de Lie et commutateurs

On peut faire l'analogie entre les crochets de Poisson de la mécanique hamiltonienne et les commutateurs de la mécanique quantique (p: 48 de la mécanique analytique).

Le crochet de Poisson, du mathématicien Siméon Denis Poisson (1781-1840) de deux observables $A$ $ et $B$, i.e. deux fonctions sur l'espace de phases d'un système physique, est défini par :

C'est un cas particulier du crochet de Lie

Les commutateurs donnent une idée de la façon dont une loi n'est pas commutative et leur définition est différente suivant :

1. les groupes : soient $g$ et $h$ $\in(G,\star)$, le commutateur de $g$ et $h$ est l'élément du groupe défini par $[g,h]=g\star h\star g^{-1}\star h^{-1}$ ;

Sophus Lie
Sophus Lie (1842-1899)

Le commutateur est égal à l'élément neutre du groupe si et seulement si $g$ et $h$ sont permutables, i.e. $g\star h=h\star g$.

2. les anneaux : soient $A$ et $B$ des élément de l'anneau, alors $[A,B]=AB-BA$.

Ce commutateur, appelé crochet de Lie, transforme toute algèbre associative sur un corps en algèbre de Lie et est donc associé à la mécanique quantique.

Si un hamiltonien commute avec un opérateur de transformation $U$, alors $[HU]=0$ et nous retrouvons le théorème de Noether et les invariances en physique.

  • L'anticommutateur est défini comme $\{A,B\}=AB+BA$.

Champs en physique

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible