• Comportement du chien et
    du chat
  • Celui qui connait vraiment les animaux est par là même capable de comprendre pleinement le caractère unique de l'homme
    • Konrad Lorenz
  • Biologie, neurosciences et
    sciences en général
  •  Le but des sciences n'est pas d'ouvrir une porte à la sagesse infinie,
    mais de poser une limite à l'erreur infinie
    • La vie de Galilée de Bertold Brecht

Mathématiques : rappels
Structures algébriques : espaces vectoriels (1)

Sommaire
attention

Cette page rappelle très succinctement les espaces vectoriels pour pouvoir se faire une idée du modèle standard des particules élémentaires.

Vous pouvez vous reporter grâce aux liens à tous les articles de Wikipedia ou d'autres sites qui pourront vous emmener plus loin.

En physique, un champ est la donnée, pour chaque point de l'espace-temps, de la valeur d'une grandeur physique qui peut être :

  • scalaire lorsque la grandeur est une valeur numérique : par exemple, dans un bulletin météo, la température prend des valeurs différentes pour chaque région ;
  • Espace-temps
    Espace-temps
    vectorielle lorsque la grandeur est caractérisée par un vecteur (approche des vecteurs) : par exemple un champ de vitesse qui correspond à une valeur absolue et une direction (particules d'un fluide, champ électrique…).

On définit des vecteurs liés dont l'origine est un point bien précis (appelé aussi, bipoint) et des vecteurs libres.

Espace vectoriel : 
 vue d'ensemble

Un espace vectoriel est un ensemble muni d'une structure permettant d'effectuer des combinaisons linéaires (cf. espaces et bases).

Opérateur

En mathématiques et en physique, un opérateur, noté avec un chapeau, $\hat Oper$, est une application entre deux espaces vectoriels topologiques, i.e. il transforme une fonction en une autre fonction de la même variable.

Prenons un exemple simple pour mieux comprendre.

Si $\hat M$ est l'opérateur " $\times x$ " :

  • alors $\hat M(x^2)=x^3$ ou $\hat M(\cos x)=x\cos x$,
  • d'où $\hat Mf(x)=xf(x)$.

Ces opérateurs sont très utiles dans la mécanique, en particulier dans les symétries.

Lois de composition

Prenons un corps K ($\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) - espace vectoriel rationnel, réel ou complexe -, un espace vectoriel sur $K$, ou K-espace vectoriel, est un ensemble $E$, dont les éléments sont appelés vecteurs (les différents vecteurs) muni de deux lois :

Une loi de composition $\ast$ : $E\times F\rightarrow G$, avec $G=E$ ou $G=F$, est une application de $E\times F$ dans $G$ qui associe à chaque couple $(x,y)$ de $E\times F$, un élément de $G$, noté habituellement $x\ast y$ et appelé " composé " de $x$ et de $y,$ ou encore " produit " de $x$ et $y$.

$G$ doit être égal à $E$ ou à $F$ :

Cette loi de composition interne peut être commutative, associative

  • si $E\neq F$ et $G=F$, la loi $\ast$ : $E\times F\rightarrow F$ est appelée loi de composition externe à gauche sur $F$ ou loi de composition externe, et $E$ est alors le domaine des opérateurs ;
  • si $E\neq F$ et $G=E$, la loi $\ast$ : $E\times F\rightarrow E$ est appelée loi de composition externe à droite sur $E$ de domaine $F$.

Différents espaces vectoriels

Espace euclidien

L'espace euclidien - du nom d'Euclide (300 avant J-C) est un espace vectoriel réel de dimension finie muni d'un produit scalaire (cf. espace euclidien).

Multiplication par un scalaire et produit scalaire
Multiplication par un scalaire et produit scalaire
(Figure : vetopsy.fr)

Un scalaire (de l'anglais " scalar " dérivé de " scale ", ensemble de nombres) est, dans l'algèbre linéaire, un nombre réel qui multiplie un vecteur dans un espace vectoriel.

Un produit scalaire (différent de la multiplication par un scalaire) peut être défini sur un espace vectoriel, permettant à deux vecteurs d'être multipliés entre eux pour donner un scalaire, c'est-à-dire un nombre.

  • Ce produit scalaire permet d'exploiter les notions longueurs, angles, orthogonalité en dimension deux et trois de la géométrie euclidienne. Soit deux vecteurs $\vec A$ et $\vec B$ dont les longueurs sont respectivement $\parallel a\parallel$ et $\parallel b\parallel$, et qui forment un angle $\theta$ entre eux, alors : $(\vec A,\vec B)=\parallel a\parallel\;\parallel b\parallel\cos(\theta)$.
  • Il est étendu à des espaces vectoriels réels de toute dimension, et aux espaces vectoriels complexes.

Soit $E$ un espace vectoriel réel, et une application $\varphi:E\times E\rightarrow\mathbb{R}$, un produit scalaire est une forme bilinéaire $\langle\cdot,\cdot\rangle$ symétrique définie positive sur $E$.

  • Euclide
    Euclide (300 avant J-C)
    Ce produit scalaire est noté $\langle x\vert y\rangle$, ou $(x\vert y)$, ou $\vec x\cdot\vec y$ au lieu de $\varphi(x,y)$, ou $\langle\cdot\vert\cdot\rangle$ à la place de $\varphi$.
  • $\vec x$ et $\vec y$ ont pour coordonnées cartésiennes respectives $(x_1, x_2 , x_3)$ et $(y_1, y_2 , y_3)$, alors leur produit scalaire est : $\langle x\vert y\rangle=(x_1y_1 )+(x_2 y_2 )+(x_3 , y_3)$.
  • La norme euclidienne est $\parallel x\parallel=\sqrt{\langle x,x\rangle}$ et la distance associée est $d(x,y)=\parallel y-x\parallel$. Sa forme quadratique - polynôme homogène de degré deux avec un nombre quelconque de variables - est $\parallel x\parallel^2$.

Remarque : $\mathbb{R}$ n'est pas algébriquement clos : $x^2+ 1=0$ n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$, même si $1,0\in\mathbb{R}$.

Espace hermitien

L'espace hermitien - du nom de Charles Hermite (1822-1901) - est un espace vectoriel complexe de dimension finie muni d'un produit scalaire qui est un produit hermitien (cf. espace hermitien). Il généralise la structure de l'espace euclidien aux nombres complexes, ensemble qui a l'avantage d'être un corps algébriquement clos.

Soit $E$ un espace vectoriel complexe $\mathcal C$, une application $\psi$ de $E$ dans $\mathcal C$ est une forme sesquilinéaire si $\psi$ est linéaire par rapport à la deuxième variable et sesquilinéaire (semi-linéaire) par rapport à la première (" sesqui ": un et demi en latin). $\forall(xy)\in E^2,$ :

  • $y\rightarrow\psi(x,y)$ est linéaire.
  • Charles Hermite
    Charles Hermite (1822-1901)
    $x\rightarrow\psi(x,y)$ vérifie que : $\forall(\lambda_1,\lambda_2)\in\mathcal C^2$ et $\forall(x_1,x_2)\in E^2$,

$\psi(\lambda_1x_1+\lambda_2x_2,y)=\overline{\lambda_1}\psi(x_1,y)+\overline{\lambda_2}\psi(x_2,y)$.

Sesquilinéaire et anti-linéaire sont synonymes car $f(ix)=-if(x)$.

Cette forme sesquilinéaire est dite hermitienne si $\forall(x,y)\in E^2\;\psi(x,y)=\overline{\psi(x,y)}$.

Le produit scalaire hermitien sur $E$ est toute forme sisquilinéaire hermitienne positive, application de $\psi$ de $E^2$ dans $\mathcal C$ telle que :

  • $\psi$ est une forme sisquilinéaire hermitienne.
  • $\forall(x)\in E\;\psi(x,x)\geqslant 0$.
  • $\forall(x)\in E\;\psi(x,x)=0\Longrightarrow x=\vec0$.

Espace préhilbertien

L'espace préhilbertien est un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire qui généralise l'espace euclidien ou hermitien dans une dimension quelconque.

  • Si cet espace est réel, on l'appelle préhilbertien réel. Si, en plus, il est de dimension finie, c'est un espace euclidien.
  • Si cet espace est complexe, on l'appelle préhilbertien complexe. Si, en plus, il est de dimension finie, c'est un espace hermitien.

Par contre, ce n'est pas un espace complet.

Espace hilbertien

Bibliographie
  • Pas de bibliographie disponible